Loading AI tools
Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Klasyczny oscylator harmoniczny – realizacja modelu oscylatora harmonicznego w ramach mechaniki klasycznej.
Ten artykuł od 2018-03 wymaga zweryfikowania podanych informacji. |
Klasyczny oscylator harmoniczny określa się jako układ w potencjale kwadratowym
bądź równoważnie jako układ, w którym działa siła przeciwnie skierowana do wychylenia układu od położenia równowagi i proporcjonalna do wychylenia
gdzie k - współczynnik proporcjonalności.
Jednowymiarowym oscylatorem harmonicznym jest każdy układ fizyczny, którego zachowanie można opisać równaniem zwanym równaniem oscylatora harmonicznego
gdzie:
Związek ten można zapisać jawnie jako liniowe równanie różniczkowe
lub korzystając z konwencji stosowanej w mechanice, gdzie pochodną po czasie oznacza się kropką
Model opisywany powyższym równaniem nazywa się też czasem prostym oscylatorem harmonicznym. Każdy układ, którego równanie można sprowadzić do powyższego, określa się w skrócie jako oscylator harmoniczny.
Rozwiązanie równania oscylatora harmonicznego można zapisać w jednej z poniższych równoważnych postaci
gdzie to stałe zależne od warunków początkowych.
Rozwiązania są równoznaczne, a korzystając z tożsamości trygonometrycznych można znaleźć zależności pomiędzy powyższymi stałymi i rozwiązanie przedstawiać w dowolnej z postaci 1, 2 lub 3.
jest częstością kołową oscylatora harmonicznego. Okres drgań wynosi
natomiast częstotliwość drgań wynosi
Lagranżjan oscylatora harmonicznego ma postać
gdzie:
Reszta oznaczeń bez zmian.
Hamiltonian oscylatora harmonicznego ma postać
gdzie:
Równanie ruchu wahadła matematycznego można zapisać w postaci
Dla małych kątów a równanie przyjmuje postać równania oscylatora harmonicznego
gdzie:
Ciało o masie przymocowane do sprężyny i poruszające się bez tarcia i oporu powietrza po poziomej powierzchni, wykonuje oscylacje harmoniczne, jeżeli amplituda ruchu nie przekracza zakresu sprężystości sprężyny. Wtedy bowiem siła sprężystości jest proporcjonalna do wychylenia
Z II zasady dynamiki Newtona można obliczyć przyspieszenie Przyjmując, że ruch odbywa się wzdłuż osi otrzymuje się równanie oscylatora harmonicznego
gdzie:
Dla ciężarka o masie wiszącego na sprężynie w stałym polu grawitacyjnym i wykonującym drgania pionowe, częstotliwość kołowa ma taką samą wartość jak poprzednio rozpatrywanego obciążnika, charakter ruchu jest dokładnie taki sam. Jedyne co się zmienia to położenie równowagi.
W rzeczywistości przedstawiony powyżej model jest sytuacją wyidealizowaną, gdyż w układzie fizycznym zazwyczaj występują siły tarcia, oporu lub innego rodzaju tłumienie proporcjonalne do prędkości oscylatora. Powoduje ono wykładniczy zanik amplitudy w czasie. Równanie ruchu oscylatora tłumionego ma postać
Oscylator może być pobudzany zewnętrznymi siłami.
Stała siła nie zmienia drgań oscylatora harmonicznego, zmienia jedynie położenie równowagi oscylatora. Siła wymuszająca o charakterze oscylacyjnym zmienia częstość drgań oscylatora.
gdzie:
Zmienną okresową siłę wymuszającą można przedstawić jako sumę funkcji harmonicznych
Dlatego analizę równania można ograniczyć do
gdzie:
W przypadku, gdy uzyskuje się równanie oscylatora harmonicznego z tłumieniem, a gdy dodatkowo założy się, że równanie oscylatora prostego.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.