Kiełek funkcji gładkiej

Kiełek funkcji gładkiej w punkcie – klasa abstrakcji funkcji w zbiorze funkcji gładkich (nieskończenie wiele razy różniczkowalnych) określonych w otoczeniach punktu w relacji równoważności, którą spełniają dwie tożsamościowo równe w pewnym otoczeniu tego punktu funkcje.

Definicja

Niech ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ będzie parazwartą rozmaitością klasy ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }.}$

Dla punktu ${\displaystyle m\in {\mathcal {M}}}$ niech ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(m)}$ oznacza rodzinę wszystkich funkcji gładkich określonych w otoczeniach punktu ${\displaystyle m}$ (mogą być to różne otoczenia dla różnych funkcji).

Niech ${\displaystyle \sim _{m}}$ będzie relacją równoważności określoną następująco:

Dla funkcji gładkich ${\displaystyle f,g\in {\mathcal {C}}^{\infty }(m)}$ zachodzi relacja ${\displaystyle f\sim _{m}g}$ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie otoczenie ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ punktu ${\displaystyle m}$, że dla każdego punktu ${\displaystyle x\in {\mathcal {U}}}$ funkcje są tożsamościowo równe, to znaczy ${\displaystyle f(x)-g(x)=0}$.

Zbiór funkcji gładkich ${\displaystyle g}$ tożsamych z funkcją f w otoczeniu punktu m nazywamy kiełkami funkcji gładkiej ${\displaystyle f}$ w punkcie ${\displaystyle m}$^[1][2].

${\displaystyle [f]_{m}=\{g\in {\mathcal {C}}^{\infty }(m):g\sim _{m}f\}.}$

Znaczenie

Kiełki mają podobne własności jak funkcje. Szczególnie lokalne własności funkcji i kiełków są podobne. Z tego powodu kiełki są używane do badania lokalnych własności funkcji.

Uwagi

• Jeśli ${\displaystyle f(x)\neq g(x),}$ to ${\displaystyle [f]_{x}\neq [g]_{x},}$ bo z ciągłości obu funkcji wynika istnienie takiego zbioru otwartego ${\displaystyle U\ni x,}$ że dla każdego ${\displaystyle y\in U}$ zachodzi nierówność ${\displaystyle f(x)\neq g(x).}$
• W zbiorze ${\displaystyle {\mathcal {F}}=\bigcup _{m\in {\mathcal {M}}}{\mathcal {C}}_{m}^{\infty }}$ można określić topologię. Jej bazą są zbiory ${\displaystyle U_{f}=\{[f]_{x}:x\in U\},}$ gdzie ${\displaystyle f}$ jest reprezentantem elementu ${\displaystyle F\in {\mathcal {F}},}$ a zbiór ${\displaystyle U}$ jest podzbiorem otwartym rozmaitości ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$^[1].
• Przestrzeń określona powyżej nie jest przestrzenią Hausdorffa. Jeśli ${\displaystyle [f]_{x}\neq [g]_{x}}$ i jednocześnie ${\displaystyle f(x)=g(x),}$ to ${\displaystyle x\in {\overline {\{y:f(y)\neq g(y)\}}}.}$ Wtedy ${\displaystyle U_{f}\cap V_{g}\neq \varnothing }$ dla każdych dwóch zbiorów otwartych ${\displaystyle U\ni x,V\ni x,}$ bowiem istnieje taki punkt ${\displaystyle x_{0}\in U\cap V,}$ że ${\displaystyle f(x_{0})\neq g(x_{0}),}$ czyli ${\displaystyle [f]_{x_{0}}\neq [g]_{x_{0}}.}$
• W analizie rozpatruje się także kiełki funkcji klasy ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}$ (o ciągłej k-tej pochodnej), funkcji analitycznych, funkcji holomorficznych lub form różniczkowych^[1].
• Przestrzeń toologiczna ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ wraz z rozmaitością ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ rzutowaniem ${\displaystyle \pi \colon [f]_{x}\to x}$ tworzy snop funkcji gładkich na rozmaitości ${\displaystyle {\mathcal {M}},}$ co oznacza, że rzutowanie to jest lokalnym homeomorfizmem.
• Można je składać i różniczkować^[2].
• W szczególności kiełki można rozpatrywać dla funkcji ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{k}}$^[2] lub dla funkcji holomorficznych na obszarach w przestrzeni ${\displaystyle \mathbb {C} }$ lub ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$^[3], gdzie mają zastosowanie w badaniu funkcji analitycznych i powierzchni Riemanna.
• W zbiorze kiełków funkcji gładkich ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{m}^{\infty }={\mathcal {C}}^{\infty }(m)/\sim }$ można określić w naturalny sposób strukturę pierścienia. Nazywany on jest pierścieniem kiełków w punkcie ${\displaystyle m}$ klasy ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }}$^[1].

Przypisy

1. Steven G. Kranz: Teoria funkcji wielu zmiennych zespolonych. Warszawa: PWN, 1991, s. 203, 204. ISBN 83-01-10048-6.
2. Th. Bröcker, L. Lander: Differentiable Germs and Katastrophes. Moskwa: Mir, 1977, s. 9–18. (ros.).
3. B. W. Szabat: Wstęp do analizy zespolonej. Warszawa: PWN, 1974, s. 153–157.