Geometria nieprzemienna

Geometria nieprzemienna, geometria niekomutatywna^[1] – dział matematyki wyższej z pogranicza geometrii różniczkowej, analizy funkcjonalnej i abstrakcyjnej algebry operatorów. Zajmuje się badaniem nieprzemiennych algebr funkcji, analogicznych do przemiennych algebr funkcji zdefiniowanych na rozmaitościach^[2] . W ten sposób konstruuje tzw. przestrzenie bezpunktowe, będące dalekim uogólnieniem rozmaitości^[3] .

Geneza i rola

Jednym z pionierów geometrii nieprzemiennej był francuski matematyk Alain Connes w latach 70. XX w. Od tego czasu znaleziono interesujące związki tej dziedziny z innymi gałęziami matematyki jak probabilistyka, teoria kategorii czy parkietaż Penrose’a^[4]. Oprócz tego geometria nieprzemienna bywa stosowana w fizyce matematycznej – jako:

• alternatywny formalizm mechaniki kwantowej^[5],
• opis kwantowego efektu Halla,
• formalizm modelu standardowego cząstek elementarnych^[6] z cząstką Higgsa^[7],
• opis osobliwości czasoprzestrzennych,
• podstawa przyszłych teorii kwantowej grawitacji^[7].

W tych ostatnich dwóch celach geometrię nieprzemienną badali m.in. Michał Heller i Wiesław Sasin^[3] . Dziedzinie tej poświęcono osobne seminarium Instytutu Matematycznego Polskiej Akademii Nauk (IM PAN)^[8].

Zobacz też

• C*-algebra