Falki

Falki (ang. wavelet) – rodziny funkcji zbioru liczb rzeczywistych w zbiorze liczb rzeczywistych, z których każda jest wyprowadzona z funkcji-matki (z tzw. funkcji macierzystej) za pomocą przesunięcia i skalowania:

${\displaystyle \psi _{j,k}(t)=\psi (2^{j}\cdot t+k),}$

Ten artykuł dotyczy matematyki. Zobacz też: inne znaczenia tego słowa.

gdzie:

${\displaystyle j,k}$ – liczby całkowite,

${\displaystyle \psi }$ – funkcja-matka,

${\displaystyle \psi _{j,k}}$ – falka o skali ${\displaystyle j}$ i przesunięciu ${\displaystyle k}$ (zwana też funkcją falkową).

Funkcje te dążą do zera (lub po prostu wynoszą zero poza pewnym przedziałem) dla argumentu dążącego do nieskończoności, zaś ich suma ważona umożliwia przedstawienie z dowolną dokładnością dowolnej funkcji ciągłej całkowalnej z kwadratem, podobnie jak funkcje cosinus o różnych okresach i przesunięciach umożliwiają przedstawienie z dowolną dokładnością każdej całkowalnej funkcji okresowej (zob. transformata Fouriera).

${\displaystyle f(t)=\sum _{j,k\in \mathbb {Z} }2^{j}\langle f,\psi _{j,k}\rangle \cdot \psi _{j,k}(t)\qquad \forall f\in L^{2}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ).}$

Falki są używane w analizie i przetwarzaniu sygnałów cyfrowych, w kompresji obrazu i dźwięku, do rozwiązywania równań różniczkowych cząstkowych^[1] oraz w wielu innych dziedzinach. Najprostsze z nich to falki Haara^[2].

Funkcja skalująca ${\displaystyle \phi }$ i falka ${\displaystyle \psi }$	Amplitudy spektrum częstotliwościowego

Zobacz też

Zobacz hasło falka w Wikisłowniku

Zobacz galerię związaną z tematem: Falki

• kompresja falkowa
• transformacja falkowa