Element absorbujący

Element absorbujący – element zbioru z działaniem dwuargumentowym, którego iloczyn z dowolnym innym elementem zbioru jest tym elementem absorbującym. W teorii półgrup, element absorbujący nazywany jest elementem zerowym^[1][2], ponieważ nie istnieje ryzyko pomylenia go z innym pojęciem zera. W tym artykule oba pojęcia są równoznaczne. Element absorbujący może też być nazywany elementem anihilującym.

Definicja formalna

Niech ${\displaystyle (S,\circ )}$ będzie zbiorem ${\displaystyle S}$ z określonym na zbiorze ${\displaystyle S}$ zamkniętym działaniem dwuargumentowym ${\displaystyle \circ }$ (grupoid). Element absorbujący (zerowy) jest to taki element ${\displaystyle z,}$ że dla każdego ${\displaystyle s}$ należącego do ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle z\circ s=s\circ z=z.}$ Wyróżnia się pojęcie^[2] zera lewego, gdy wymagane jest jedynie ${\displaystyle z\circ s=z}$ oraz zera prawego, gdzie wymagane jest tylko ${\displaystyle s\circ z=z.}$

Elementy absorbujące są szczególnie ciekawe w półgrupach, zwłaszcza w multiplikatywnych półgrupach półpierścienia. W przypadku półpierścienia z 0, definicja elementu absorbującego jest czasem uproszczona tak, że nie jest wymagane by element absorbował 0; wystarcza by 0 było jedynym absorbującym elementem^[3].

Własności

• Jeśli grupoid ma zarówno lewe, jak i prawe zero, to ma zero, ponieważ ${\displaystyle z=z\times z'=z'.}$
• Jeśli grupoid posiada zero, to ma je tylko jedno.

Przykłady

• Najlepiej znanym przykładem elementu absorbującego w algebrze jest mnożenie, gdzie dowolna liczba pomnożona przez zero jest równa zero. Zero jest więc elementem absorbującym.
• W arytmetyce zmiennoprzecinkowej, według definicji standardu IEEE-754, istnieje wartość „NaN” (z ang. Not A Number; nieliczba). Jest ona elementem absorbującym każdej operacji; np.: x + NaN = NaN + x = NaN, x – NaN = NaN – x = NaN itd.
• Zbiór działań dwuargumentowych na zbiorze ${\displaystyle X,}$ razem ze złożeniem relacji tworzy monoid z zerem, gdzie element zerowy jest relacją pustą (zbiorem pustym).
• Zbiór zamknięty ${\displaystyle H=[0,1],}$ gdzie ${\displaystyle x\circ y=\min(x,y)}$ jest również monoidem z zerem, w którym elementem absorbującym jest 0.
• Więcej przykładów:

Zbiór	Operacja	Element absorbujący
liczby rzeczywiste	${\displaystyle \cdot }$ (mnożenie)	0
liczby całkowite	największy wspólny dzielnik	1
macierze kwadratowe ${\displaystyle N\times N}$	${\displaystyle \cdot }$ (mnożenie)	macierz zerowa
zbiory	${\displaystyle \cap }$ (część wspólna)	${\displaystyle \varnothing }$ (zbiór pusty)
podzbiory zbioru ${\displaystyle M}$	${\displaystyle \cup }$ (suma)	${\displaystyle M}$
logika Boole’a	${\displaystyle \land }$ (koniunkcja)	${\displaystyle \bot }$ (fałsz)
logika Boole’a	${\displaystyle \lor }$ (alternatywa)	${\displaystyle \top }$ (prawda)