Dychotomia

Dychotomia (gr. dichotomos – przecięty na dwie części) – dwudzielność; podział na dwie części, wzajemnie się wykluczające i uzupełniające do całości^[1][2][3].

Ten artykuł dotyczy logiki matematycznej. Zobacz też: dychotomie w psychologii.

Yin i yang – przykład dychotomii koła

Podział dychotomiczny zbioru X polega na wyróżnieniu w nim dwóch podzbiorów – A i B – które:

1. są rozłączne, tj. nie mają wspólnych elementów;
2. wyczerpują zbiór X – w skład X nie wchodzi nic spoza A i B, czyli każdy element zbioru X należy albo do podzbioru A, albo do B.

Przykłady

Wycinek kołowy można podzielić na odcinek koła i trójkąt równoramienny

Szereg twierdzeń w matematyce jest formułowanych w postaci dychotomii – stwierdzenia, że jedna (i tylko jedna) z dwóch własności przysługuje rozważanym obiektom. Na przykład każda liczba naturalna jest albo parzysta, albo nieparzysta; każde trzy punkty albo leżą na jednej prostej, albo są wierzchołkami trójkąta o dodatnim polu.

Twierdzenia tego typu wzbudzają dodatkowe zainteresowanie, jeśli jeden z warunków mówi, że badany obiekt jest pod pewnym względem bardzo „prosty”, a drugi postuluje, że obiekt ten jest bardzo „złożony”. Na przykład:

• jeśli B jest nieskończenie wymiarową przestrzenią Banacha, to B zawiera podprzestrzeń z bazą bezwarunkową albo B ma podprzestrzeń dziedzicznie nierozkładalną^[4],
• każdy analityczny podzbiór prostej rzeczywistej jest albo przeliczalny, albo zawiera homeomorficzną kopię zbioru Cantora,
• jeśli ${\displaystyle \mathbb {P} }$ jest pojęciem forsingu, które jest Suslin-ccc, to albo ${\displaystyle \mathbb {P} }$ nie dodaje liczby nieograniczonej, albo ${\displaystyle \mathbb {P} }$ dodaje liczbę Cohena^[5].

Przypisy

1. dychotomia [w:] Słownik języka polskiego [online], PWN [dostęp 2024-06-01].
2. dychotomia [w:] Wielki słownik języka polskiego [online], Instytut Języka Polskiego PAN [dostęp 2024-06-01].
3. dychotomiczny podział, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2024-06-01].
4. W.T. Gowers. A new dichotomy for Banach spaces. „Geom. Funct. Anal.”. 6, s. 1083–1093, 1996.
5. Saharon Szelach. How special are Cohen and random forcings i.e. Boolean algebras of the family of subsets of reals modulo meagre or null. „Israel Journal of Mathematics”. 88, s. 159–174, 1994.

Linki zewnętrzne

• Dichotomy (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-06-01].

Kontrola autorytatywna (podział zbioru):

• GND: 4149617-6

Encyklopedie internetowe:

• Britannica: science/dichotomy
• DSDE: dikotomi