Dwudziestościan ścięty

Dwudziestościan ścięty – wielościan półforemny o 32 ścianach w kształcie 20 sześciokątów foremnych i 12 pięciokątów foremnych. Ma 90 krawędzi i 60 wierzchołków. Dwudziestościan ścięty można uzyskać przez ścięcie wierzchołków zwykłego dwudziestościanu foremnego.

Dwudziestościan ścięty – model

Dwudziestościan ścięty – model

Przykładowa siatka dwudziestościanu ściętego

Dwudziestościan ścięty a piłka nożna

Kształt ten jest używany przy produkcji piłki nożnej, choć zamiast płaskich ścian ma ona boki zaokrąglone. Taką strukturę ma też cząsteczka fulerenu C₆₀ (złożona z 60 atomów węgla). Piłka nożna ma średnicę ok. 22 cm, wspomniana cząsteczka ok. 1 nm (stosunek 200000000:1), tak więc kształt ten występuje zarówno w mikro- jak i makroskali.

Długość krawędzi dwudziestościanu ściętego w stosunku do długości krawędzi dwudziestościanu foremnego przed ścięciem:

${\displaystyle {\frac {a_{dwudziestoscianu~scietego}}{a_{dwudziestoscianu~foremnego}}}={\frac {1}{3}}}$

Całkowite pole powierzchni dwudziestościanu ściętego o krawędzi długości a:

${\displaystyle S=3\left(10{\sqrt {3}}+{\sqrt {5}}~{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)~a^{2}}$

Objętość:

${\displaystyle V={\frac {1}{4}}(125+43{\sqrt {5}})~a^{3}}$

Promień kuli opisanej:

${\displaystyle R={\frac {1}{4}}{\sqrt {58+18{\sqrt {5}}}}~a}$

Nie da się wpisać kuli:
Odległość od środka masy do każdej ze ścian pięciokątnych:

${\displaystyle r_{5}={\frac {1}{2}}{\sqrt {{\tfrac {1}{10}}(125+41{\sqrt {5}})}}~a}$

Odległość od środka masy do każdej ze ścian sześciokątnych:

${\displaystyle r_{6}={\frac {1}{2}}{\sqrt {{\tfrac {3}{2}}(7+3{\sqrt {5}})}}~a}$

Kąt między ścianami:

pięciokątną i sześciokątną: 142,6°

dwiema sześciokątnymi: 138,2°

Grupa symetrii:

I_h

Zobacz też

• dwudziestościan foremny
• czworościan ścięty
• sześcian ścięty
• ośmiościan ścięty
• dwunastościan ścięty
• fuleren

Bibliografia

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Truncated Icosahedron, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.).