Definicja
Niech funkcja wektorowa określona na powierzchni będzie ciągła.
Poprzez oznaczamy rzut powierzchni na płaszczyznę
dzielimy na podobszary takie że dla każdego Poprzez oznaczamy ten konkretny podział. Przez oznaczamy tę część powierzchni której rzutem na płaszczyznę jest a przez oznaczamy pole powierzchni
Na każdym obieramy dowolny punkt Rzutem na jest
Tworzymy sumę gdzie jest składową wektora normalną do
Rozpatrujemy taki ciąg tych podziałów żeby największa ze średnic dążyła do zera. Jeżeli dla każdego takiego ciągu podziałów i dla dowolnie wybranych punktów pośrednich ciąg sum dąży do tej samej granicy, to granicę tę oznaczamy symbolem
lub
i nazywamy całką powierzchniową zorientowaną[3]. Niekiedy używa się również oznaczenia lub podobnego[4].
Związek całki skierowanej z nieskierowaną jest następujący:
- gdzie
to kąty pomiędzy wektorem normalnym do powierzchni S w punkcie a osiami układu współrzędnych[5].
Obliczanie
Płat dany jawnie
Niech płat jest zadany równaniem gdzie funkcja jest klasy w I niech jest wektorem normalnym do skierowanym zgodnie z osią Wtedy
gdzie jeśli płat jest zorientowany zgodnie z osią i jeśli jest zorientowany przeciwnie.
Płat dany parametrycznie
Niech płat dany jest równaniami gdzie wszystkie te funkcje są klasy w I niech ponadto zachodzą następujące warunki:
- jest obszarem regularnym domkniętym, ograniczonym jedną krzywą zamkniętą zwykłą częściami gładką;
- różnym punktom wnętrza odpowiadają różne punkty
- wyrażenie jest różne od zera wewnątrz (jest to suma kwadratów minorów macierzy jakobianowej ).
Wtedy:
gdzie:
Z własności iloczynu mieszanego mamy więc:
Tu gdy płat jest zorientowany zgodnie z wektorem h; gdy jest zorientowany przeciwnie.
Dane 3 rzuty
Niektóre z zamieszczonych tu informacji wymagają weryfikacji.
Jeśli płat można opisać wzorami gdzie wszystkie te funkcje są określone w zbiorach będących rzutami odpowiednio na to
gdy płat S jest zorientowany zgodnie z odpowiednią osią, a gdy jest zorientowany przeciwnie. itd.
- Jeżeli jeden lub dwa rzuty płata S mają pole równe zero, to we wzorze pozostają tylko dwie lub jedna całka podwójna.
- Wzór pozostaje słuszny, jeżeli tylko wewnętrznym punktom płata można przyporządkować punkty rzutów.
- Aby zastosować tę metodę do innych płatów, należy je podzielić na skończona liczbę płatów spełniających założenia.