Aproksymacja wielomianowa

Aproksymacja wielomianowa – metoda aproksymacji polegająca na przybliżeniu funkcji za pomocą wielomianu.

Przykładowe wielomiany różnych stopni

Sformułowanie problemu

Wiemy, że dla pewnego zbioru punktów ${\displaystyle x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}}$ funkcja przyjmuje wartości ${\displaystyle y_{0},y_{1},\dots ,y_{n}.}$ Naszym celem jest znalezienie wielomianu w postaci^[1]:

${\displaystyle F(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots +a_{m}x^{m},}$

${\displaystyle F(x)=\sum \limits _{i=0}^{m}a_{i}x^{i}}$

takiego, aby przybliżenie funkcji w punktach ${\displaystyle x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}}$ było jak najlepsze. Funkcję oceny jakości wielomianu można zdefiniować w różny sposób, często stosowane kryteria to^[2]:

• maksymalna różnica ${\displaystyle (|F(x)-y|)}$ powinna być jak najmniejsza (aproksymacja jednostajna),
• suma wartości bezwzględnych różnic powinna być jak najmniejsza,
• suma kwadratów różnic powinna być jak najmniejsza (aproksymacja średniokwadratowa).

Aproksymacja wielomianowa średniokwadratowa

W aproksymacji średniokwadratowej wielomianowej funkcja błędu jest zdefiniowana następująco:

${\displaystyle H(a_{0},a_{1},\dots ,a_{m})=\sum \limits _{j=0}^{n}w(x_{j})(y_{j}-\sum \limits _{i=0}^{m}a_{i}x_{j}^{i})^{2}.}$

Współczynnik ${\displaystyle w(x_{j})}$ jest ustaloną funkcją wagową. Najczęściej przyjmuje się, że funkcja wagowa zawsze przyjmuje wartość 1 – wówczas możemy ten czynnik pominąć^[3].

Funkcja ta osiąga minimum w punkcie, w którym pochodne cząstkowe względem współczynników ${\displaystyle a_{0},a_{1},\dots ,a_{m}}$ są równe zero. W celu znalezienia tego minimum należy rozwiązać zatem układ równań^[3]:

${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {\partial H}{\partial a_{0}}}=0\\{\frac {\partial H}{\partial a_{1}}}=0\\\dots \\{\frac {\partial H}{\partial a_{m}}}=0\end{matrix}}}$

Po przekształceniach układ ten można sprowadzić do postaci^[4]:

${\displaystyle {\begin{matrix}a_{0}(n+1)&+&a_{1}\sum \limits _{j=0}^{n}x_{j}&+&\dots &+&a_{m}\sum \limits _{j=0}^{n}x_{j}^{m}&=&\sum \limits _{j=0}^{n}y_{j}\\a_{0}\sum \limits _{j=0}^{n}x_{j}&+&a_{1}\sum \limits _{j=0}^{n}x_{j}^{2}&+&\dots &+&a_{m}\sum \limits _{j=0}^{n}x_{j}^{m+1}&=&\sum \limits _{j=0}^{n}y_{j}x_{j}\\\dots &&\dots &&\dots &&\dots &&\dots \\a_{0}\sum \limits _{j=0}^{n}x_{j}^{m}&+&a_{1}\sum \limits _{j=0}^{n}x_{j}^{m+1}&+&\dots &+&a_{m}\sum \limits _{j=0}^{n}x_{j}^{2m}&=&\sum \limits _{j=0}^{n}y_{j}x_{j}^{m}\end{matrix}}}$

Układ ten można rozwiązać, stosując np. wzory Cramera lub metodę Gaussa-Seidla.

Stopień wielomianu

Liczba współczynników wielomianu powinna być mniejsza od liczby punktów, które ma przybliżać funkcja ${\displaystyle (m<n).}$ Dla ${\displaystyle m=n}$ zawsze jest możliwe wyznaczenie wielomianu przechodzącego dokładnie przez podane punkty – wówczas problem sprowadza się do interpolacji wielomianowej^[4].