Loading AI tools
twierdzenie analizy rzeczywistej Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Twierdzenie Rolle’a – twierdzenie klasycznej analizy matematycznej mówiące, że funkcja różniczkowalna przyjmująca równe wartości w dwóch różnych punktach ma pomiędzy nimi punkt stacjonarny, tzn. punkt, w którym nachylenie prostej stycznej do wykresu funkcji względem osi OX jest równe zeru[1].
Jest to najprostszy przypadek twierdzenia Lagrange’a o wartości średniej, a przez to – twierdzenia Cauchy’ego. Jest używane m.in. w dowodzie reguły znaków Kartezjusza[2].
Niech będzie ciągłą funkcją rzeczywistą określoną na przedziale domkniętym różniczkowalną na przedziale otwartym Wówczas jeżeli to istnieje taki punkt należący do przedziału otwartego że
Z tej wersji twierdzenia Rolle’a korzysta się przy dowodzie twierdzenia Lagrange’a o wartości średniej, którego twierdzenie Rolle’a jest przypadkiem szczególnym.
Jeżeli to dla każdego Gdy nie jest tożsamościowo równa stałej, to istnieje taki punkt dla którego zachodzi
lub
Przypuśćmy, że zachodzi pierwszy przypadek, tzn. dla pewnego argumentu wartość funkcji jest większa od rozumowanie w drugim przypadku jest analogiczne (wówczas trzeba rozważać wartość najmniejszą zamiast największej).
Określona na przedziale zwartym funkcja ciągła na mocy twierdzenia Weierstrassa przyjmuje wartość największą, tzn. istnieje taki punkt że
dla
Z założenia, że istnieje wartość większa od wynika, że tzn. Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum globalnego funkcji w jest znikanie pochodnej w tym punkcie, co dowodzi tezy.
Twierdzenie to – w innej postaci niż ta standardowa – znał w 1150 roku indyjski matematyk Bhaskaraćarja[potrzebny przypis]. W 1691 roku francuski matematyk Michel Rolle opublikował je w szczególnym przypadku dotyczącym wielomianów[3]. Zostało nazwane na jego cześć najpóźniej w XIX wieku; nazwiskiem Rolle’a określił je w 1834 roku Moritz Wilhelm Drobisch[4].
Niech będzie rzeczywistą liczbą dodatnią, a wtedy Punkt można zapisać jako gdzie
Przy takich oznaczeniach twierdzenie Rolle’a ma postać:
Rezygnacja z warunku czyli prowadzi do ogólniejszego twierdzenia Lagrange’a:
Z kolei dalekim uogólnieniem twierdzenia Lagrange’a jest twierdzenie Taylora mówiące, że:
Twierdzenie Rolle’a uzyskuje się z niego przyjmując
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.