Loading AI tools
twierdzenie matematyczne Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Twierdzenie Barbiera – twierdzenie mówiące o tym, że wszystkie figury o stałej szerokości mają obwód równy ich szerokości pomnożony przez [1]. Opublikował je Joseph-Émile Barbier w 1860[2].
Najbardziej znane przykłady figur o stałej szerokości to koło i trójkąt Reuleaux[3]. Szerokością koła jest jego średnica o długości natomiast obwód ma długość Trójkąt Reuleaux składa się z trzech łuków okręgu o promieniu Każdy z łuków ma kąt środkowy o mierze równej więc obwód trójkąta Reuleaux o szerokości jest połową długości okręgu o promieniu czyli Podobna analiza dla innych prostych przypadków takich jak inne wielokąty Reuleaux daje te same odpowiedzi.
Jeden z dowodów twierdzenia korzysta z własności dodawania Minkowskiego. Jeśli jest ciałem o stałej szerokości to wynikiem dodawania Minkowskiego i jego obrotu o 180° jest koło o promieniu i obwodzie Jednak dodawanie Minkowskiego jest operacją liniową dla figur wypukłych, więc obwód musi być połową obwodu koła, czyli tak jak stanowi teza twierdzenia[4].
Inny dowód można otrzymać z analizy zagadnienia igły Buffona. Wystarczy zauważyć, że igłę o długości można zastąpić dowolną łamaną lub krzywą o takiej samej długości. Łamana lub krzywa może być również zamknięta o obwodzie Najprostszą krzywą zamkniętą jest okrąg, który można zastąpić dowolną figurą o stałej szerokości[5].
W przypadku bryły o stałej szerokości odpowiednik twierdzenia Barbiera jest fałszywy. W szczególności sfera o średnicy ma powierzchnię natomiast powierzchnia bryły wyznaczonej przez obrót trójkąta Reulaux to [1].
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.