Trygonometryczne wzory redukcyjne

Wzory redukcyjne – wzory pozwalające sprowadzić obliczanie wartości funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta skierowanego do obliczenia wartości funkcji dla kąta ostrego, a dalej dla kąta o mierze z zakresu od 90° do 180°

W poniższych wzorach używana jest miara łukowa kąta. Korzystając z miary stopniowej należy w poniższych wzorach podstawić 180° w miejsce π.

Sinus i cosinus

${\displaystyle \sin \left(-\alpha \right)=-\sin \alpha }$	${\displaystyle \cos \left(-\alpha \right)=\cos \alpha }$
${\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\cos \alpha }$	${\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\sin \alpha }$
${\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{2}}+\alpha \right)=\cos \alpha }$	${\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{2}}+\alpha \right)=-\sin \alpha }$
${\displaystyle \sin \left(\pi -\alpha \right)=\sin \alpha }$	${\displaystyle \cos \left(\pi -\alpha \right)=-\cos \alpha }$
${\displaystyle \sin \left(\pi +\alpha \right)=-\sin \alpha }$	${\displaystyle \cos \left(\pi +\alpha \right)=-\cos \alpha }$
${\displaystyle \sin \left({\frac {3\pi }{2}}-\alpha \right)=-\cos \alpha }$	${\displaystyle \cos \left({\frac {3\pi }{2}}-\alpha \right)=-\sin \alpha }$
${\displaystyle \sin \left({\frac {3\pi }{2}}+\alpha \right)=-\cos \alpha }$	${\displaystyle \cos \left({\frac {3\pi }{2}}+\alpha \right)=\sin \alpha }$
${\displaystyle \sin \left(2\pi -\alpha \right)=-\sin \alpha }$	${\displaystyle \cos \left(2\pi -\alpha \right)=\cos \alpha }$
${\displaystyle \sin \left(2\pi +\alpha \right)=\sin \alpha }$	${\displaystyle \cos \left(2\pi +\alpha \right)=\cos \alpha }$

Tangens i cotangens

${\displaystyle \operatorname {tg} (-\alpha )=-\operatorname {tg} \ \alpha }$	${\displaystyle \operatorname {ctg} (-\alpha )=-\operatorname {ctg} \ \alpha }$
${\displaystyle \operatorname {tg} \ \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\operatorname {ctg} \ \alpha }$	${\displaystyle \operatorname {ctg} \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\operatorname {tg} \ \alpha }$
${\displaystyle \operatorname {tg} \ \left({\frac {\pi }{2}}+\alpha \right)=-\operatorname {ctg} \ \alpha }$	${\displaystyle \operatorname {ctg} \left({\frac {\pi }{2}}+\alpha \right)=-\operatorname {tg} \ \alpha }$
${\displaystyle \operatorname {tg} \ \left(\pi -\alpha \right)=-\operatorname {tg} \ \alpha }$	${\displaystyle \operatorname {ctg} \left(\pi -\alpha \right)=-\operatorname {ctg} \ \alpha }$
${\displaystyle \operatorname {tg} \ \left(\pi +\alpha \right)=\operatorname {tg} \ \alpha }$	${\displaystyle \operatorname {ctg} \left(\pi +\alpha \right)=\operatorname {ctg} \ \alpha }$

Podawanie wzorów typu ${\displaystyle \operatorname {tg} \ \left({\frac {3\pi }{2}}+\alpha \right)=-\operatorname {ctg} \alpha }$ nie jest potrzebne, bo okresem funkcji tangens i cotangens jest π.

Wzory redukcyjne można wywieść z symetrii wykresów odpowiednich funkcji trygonometrycznych. Mianowicie, wykres funkcji sinus jest środkowo symetryczny względem dowolnego punktu osi OX o współrzędnej postaci kπ i osiowo symetryczny względem dowolnej prostej o równaniu x = π/2 + kπ. Dla cosinusa odpowiednie symetrie wypadają dla x =π/2 + kπ oraz x = kπ. Dla tangensa i cotangensa mamy jedynie symetrie środkowe odpowiednio względem punktów x=kπ oraz x=π/2 + kπ.

Interpretacja na wykresie

Wykresy pozwalają też na wyobrażenie sobie (i szybkie odtworzenie w pamięci lub na kartce) wzorów redukcyjnych.

1. W tym celu trzeba tylko zapamiętać jak wyglądają wykresy funkcji trygonometrycznych. Następnie przekształcamy wykres tej funkcji, którą mamy obliczyć:

• jeśli w argumencie jest ${\displaystyle (x+\alpha )}$ gdzie ${\displaystyle \alpha }$ jest równe np. ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}},}$ ${\displaystyle \pi ,}$ ${\displaystyle {\frac {3}{2}}\pi ,}$ lub ${\displaystyle 2\pi ,}$ to przesuwamy wykres odpowiedniej funkcji o ${\displaystyle \alpha }$ w lewo.
• jeśli w argumencie jest ${\displaystyle (x-\alpha )}$ to przesuwamy wykres o ${\displaystyle \alpha }$ w prawo.
• jeśli w argumencie jest ${\displaystyle (\alpha -x)}$ to przesuwamy wykres o ${\displaystyle \alpha }$ w lewo i odbijamy wykres symetrycznie względem osi OY.

2. Jeśli przed funkcją stoi minus, odbijamy wykres względem osi OX.

3. Na koniec spoglądamy na powstały wykres w miejscu, w którym przecina oś OY:

• Jeśli przecina ją w punkcie ${\displaystyle y=1,}$ to wynikiem jest ${\displaystyle \cos(x)}$
• Jeśli przecina ją w punkcie ${\displaystyle y=-1,}$ to wynikiem jest ${\displaystyle -\cos(x)}$
• Jeśli przecina ją w środku układu współrzędnych i rośnie, to wynikiem jest ${\displaystyle \sin(x)}$ (gdy przekształcaliśmy sinus lub cosinus) lub ${\displaystyle \operatorname {tg} (x)}$ (gdy przekształcaliśmy tangens lub cotangens)
• Jeśli przecina ją w środku układu współrzędnych i maleje, to wynikiem jest ${\displaystyle -\sin(x)}$ (gdy przekształcaliśmy sinus lub cosinus) lub ${\displaystyle -\operatorname {tg} (x)}$ (gdy przekształcaliśmy tangens lub cotangens)
• Jeśli w ogóle nie przecina osi OY, a w przedziale od 0 do ${\displaystyle \pi }$ rośnie, to wynikiem jest ${\displaystyle \operatorname {ctg} (x)}$
• Jeśli w ogóle nie przecina osi OY, a w przedziale od 0 do ${\displaystyle \pi }$ maleje, to wynikiem jest ${\displaystyle -\operatorname {ctg} (x)}$

Przykłady zastosowania

Dla odmiany użyta zostanie miara stopniowa. Należy pamiętać, że funkcje trygonometryczne są okresowe – jeżeli miara kąta przekracza 360° można wyodrębnić z niej wielokrotność 360° i przeprowadzać obliczenia dla pozostałej części.

${\displaystyle \sin 135^{\circ }=\sin(90^{\circ }+45^{\circ })=\cos 45^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{2}}}$

${\displaystyle \cos 210^{\circ }=\cos(180^{\circ }+30^{\circ })=-\cos 30^{\circ }=-{\frac {\sqrt {3}}{2}}}$

${\displaystyle \operatorname {tg} \ 585^{\circ }=\operatorname {tg} \ (3\cdot 180^{\circ }+45^{\circ })=\operatorname {tg} \ 45^{\circ }=1}$

${\displaystyle \sin(-1035^{\circ })=-\sin 1035^{\circ }=-\sin(2\cdot 360^{\circ }+315^{\circ })=}$${\displaystyle -\sin 315^{\circ }=-\sin(360^{\circ }-45^{\circ })=-(-\sin 45^{\circ })={\frac {\sqrt {2}}{2}}}$

W obu ostatnich przykładach pominięto okres funkcji.

Linki zewnętrzne

• Paweł Lubowiecki, Funkcje trygonometryczne cz. II Wzory redukcyjne, Wojskowa Akademia Techniczna im. Jarosława Dąbrowskiego, kanał „Uczelnia WAT” na YouTube, 30 stycznia 2024 [dostęp 2024-09-07].