Loading AI tools
Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Trójkąty podobne – dwa trójkąty, których odpowiednie boki są parami proporcjonalne, tzn. gdy można dobrać oznaczenia dla wierzchołków w pierwszym i drugim trójkącie odpowiednio: oraz tak, aby
gdzie jest pewną liczbą zwaną skalą podobieństwa trójkąta względem
Jest to szczególny przypadek podobieństwa dwóch figur.
Podobieństwo trójkątów o ustalonych nazwach wierzchołków symbolicznie zapisujemy i czytamy, że jest podobny do
Oczywiście tak zdefiniowane podobieństwo trójkątów jest relacją między dwiema figurami niezależną od sposobu i kolejności oznaczania ich wierzchołków. Czyli jeśli to także np. oraz Oznacza to, że w napisie układ liter wygodnie jest rozumieć jako zbiór wierzchołków, a nie uporządkowany ciąg wierzchołków.
W ujęciu kleinowskiej teorii niezmienników grupy podobieństw problem (pozornie) upraszcza się, bowiem tam postuluje się istnienie pewnego podobieństwa (czyli funkcji) przenoszącego jeden trójkąt na drugi i wierzchołki obu trójkątów nie muszą być oznaczane.
Relacja podobieństwa w zbiorze trójkątów jest równoważnością.
Jeśli trójkąty są podobne, to:
Trójkąty są podobne, jeśli zachodzi którykolwiek z poniższych równoważnych warunków:
Podobieństwo ze wszystkimi jego własnościami występuje jedynie w geometrii euklidesowej. W geometriach eliptycznej i hiperbolicznej równość odpowiednich trzech kątów oznacza równość odpowiednich boków. Sprowadza się to do przystawania trójkątów. I odwrotnie – dla dowolnych dwóch trójkątów, w których długości boków w jednym są różne, ale proporcjonalne do odpowiednich boków drugiego trójkąta, równości kątów nie są zachowane. Nie będą zachowane także m.in. proporcje wysokości, proporcje środkowych itd.
Ogólnie – podobieństwo jako funkcja zachowująca stosunki odległości dowolnych dwóch punktów w tych geometriach sprowadza się do izometrii.
Podobieństwo trójkątów ma liczne zastosowania praktyczne i teoretyczne. Oto kilka z nich.
Według legendy Tales z Miletu wyznaczył wysokość piramidy w Egipcie na podstawie długości cienia rzucanego przez kij, czym wprawił w zdumienie kapłanów. Oto jak mógł tego dokonać.
Ponieważ trójkąty i są podobne zachodzi proporcja: skąd
Znając – długość kija, mierząc – długość jego cienia i – długość cienia piramidy, natychmiast wyliczamy jej wysokość.
Analogicznie można obliczać wysokość innego wysokiego przedmiotu.
Prawdopodobnie jednak Tales wykorzystał prostszy sposób – wbił w ziemię kij o znanej długości, odczekał do chwili, gdy długość cienia jest równa długości kija, a następnie zmierzył długość cienia rzucanego przez piramidę.
Nieco inne rozumowanie pozwala obliczyć odległość statku znajdującego się na horyzoncie.
Z podobieństwa trójkątów i mamy: czyli skąd
Mierząc długości odcinków występujących w tej równości, wyznaczamy
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.