Szereg Fouriera

Szereg Fouriera – szereg pozwalający rozłożyć funkcję okresową^[1] lub nieokresową^[2], spełniającą warunki Dirichleta, na sumę funkcji trygonometrycznych. Szeregi Fouriera zostały wprowadzone w 1807 roku przez Josepha Fouriera w celu rozwiązania równania przewodnictwa ciepła dla metalowej płyty. Równanie to jest równaniem różniczkowym cząstkowym i nie da się go rozwiązać bezpośrednio dla większości funkcji; jednak rozkładając funkcję początkową na szereg Fourier łatwo znalazł rozwiązania równania przewodnictwa dla poszczególnych składowych harmonicznych, ponieważ pochodne funkcji trygonometrycznych dają proste wzory, a następnie obliczył rozwiązanie dla funkcji wejściowej, sumując rozwiązania dla jej składowych harmonicznych. W 1829 r. Dirichlet określił ściśle warunki, jakie muszą spełniać funkcje, by szereg Fouriera był do nich zbieżny.

Szeregi Fouriera są np. ściśle powiązane z transformatą Fouriera, odkrytą przez Fouriera, którą można wykorzystać do znalezienia informacji o częstotliwościach składowych funkcji nieokresowych.

Od czasów Fouriera odkryto wiele różnych podejść do definiowania i rozumienia szeregu Fouriera. Niektóre z bardziej wydajnych i eleganckich podejść opierają się na pomysłach i narzędziach matematycznych, które nie były dostępne w czasach Fouriera. Fourier pierwotnie zdefiniował szereg Fouriera dla funkcji argumentów rzeczywistych o wartościach rzeczywistych i użył funkcji sinus i cosinus w dekompozycji. Od tego czasu zdefiniowano wiele innych transformacji, rozszerzając jego początkowy pomysł na wiele zastosowań i tworząc dział matematyki zwany analizą Fourierowską.

Metoda Fouriera doprowadziła do przewrotu w matematyce i zainicjowała powstanie wielu nowych teorii. Dziś szeregi Fouriera mają wielkie znaczenie między innymi w fizyce, teorii drgań oraz przetwarzaniu sygnałów obrazu (kompresja jpeg) i dźwięku (kompresja mp3)^[3].

Definicje szeregu Fouriera

Definicja za pomocą funkcji sin i cos^[1]

Niech dana będzie funkcja okresowa ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ o okresie ${\displaystyle T>0,}$ bezwzględnie całkowalna w przedziale ${\displaystyle \left[{\tfrac {-T}{2}},{\tfrac {T}{2}}\right]}$. Trygonometrycznym szeregiem Fouriera funkcji ${\displaystyle f}$ nazywamy szereg funkcyjny postaci

${\displaystyle S(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}\cos \left({\frac {2\pi }{T}}\,nx\right)+b_{n}\sin \left({\frac {2\pi }{T}}\,nx\right)\right]}$

(1.1)

o współczynnikach określonych wzorami:

${\displaystyle a_{n}={\frac {2}{T}}\int \limits _{-T/2}^{T/2}f(x)\cos \left({\frac {2\pi }{T}}\,nx\right)dx,\quad n=0,1,2,\dots ,}$

(1.2)

${\displaystyle b_{n}={\frac {2}{T}}\int \limits _{-T/2}^{T/2}f(x)\sin \left({\frac {2\pi }{T}}\,nx\right)dx,\quad n=1,2,3,\dots }$

(1.3)

Powyższe wzory po raz pierwszy opublikował Jeana-Baptiste Joseph Fourier. Niemniej jednak po raz pierwszy wyprowadził je Leonhard Euler (prac na ten temat nie opublikował). Wzory te noszą nazwę wzorów Eulera-Fouriera^[4].

Wprowadzając dla uproszczenia oznaczenie ${\displaystyle \omega ={\frac {2\pi }{T}}}$ w powyższych wzorach, gdzie ${\displaystyle \omega }$ to tzw. pulsacja lub częstość kołowa, otrzymamy:

${\displaystyle S(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}\cos \left(n\omega x\right)+b_{n}\sin \left(n\omega x\right)\right],}$

(1.1a)

${\displaystyle a_{n}={\frac {2}{T}}\int \limits _{-T/2}^{T/2}f(x)\cos \left(n\omega x\right)dx,\quad n=0,1,2,\dots ,}$

(1.2a)

${\displaystyle b_{n}={\frac {2}{T}}\int \limits _{-T/2}^{T/2}f(x)\sin \left(n\omega x\right)dx,\quad n=1,2,3,\dots }$

(1.3a)

Definicja za pomocą funkcji zespolonych^[5]

Niech dana będzie funkcja okresowa ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ o okresie ${\displaystyle T>0}$ bezwzględnie całkowalna w przedziale ${\displaystyle \left[-{\tfrac {T}{2}},{\tfrac {T}{2}}\right]}$. Zespolonym szeregiem Fouriera funkcji ${\displaystyle f}$ nazywamy szereg funkcyjny

${\displaystyle S(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}e^{in\omega x}}$

gdzie

${\displaystyle c_{n}={\tfrac {1}{T}}\int \limits _{-T/2}^{T/2}f(x)e^{-in\omega x}dx}$

Związek między współczynnikami rozwinięcia trygonometrycznego i zespolonego

${\displaystyle c_{n}=\left\{{\begin{aligned}&{\tfrac {1}{2}}(a_{n}-ib_{n})&&{\text{gdy}}~~n>0\\&{\tfrac {1}{2}}a_{0}&&{\text{gdy}}~~n=0\\&{\tfrac {1}{2}}(a_{-n}+ib_{-n})&&{\text{gdy}}~~n<0\end{aligned}}\right.}$

Obliczanie szeregu Fouriera funkcji nieciągłej. Twierdzenie Dirichleta

Wykres funkcji piłokształtnej, która składa się z powtórzeń funkcji ${\displaystyle s(x)=x/\pi }$ określonej na przedziale ${\displaystyle (-\pi ,\pi >}$.

Animacja pięciu kolejnych wyrazów szeregu Fouriera aproksymującego funkcję piłokształtną

Rozważmy funkcję piłokształtną:

${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&s(x)={\tfrac {x}{\pi }}\,&&-\pi <x<\pi \,,\\&s(x+2\pi k)=s(x),&&-\pi <x<\pi ,k=0,\pm 1,\pm 2,\dots \end{aligned}}\right.}$

Obliczając jej współczynniki szeregu Fouriera otrzymamy:

${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }s(x)\cos(nx)\,dx=0,\quad n\geq 0}$

${\displaystyle b_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }s(x)\sin(nx)\,dx,\quad n\geq 1}$

${\displaystyle b_{n}=-{\frac {2}{\pi n}}\cos(n\pi )+{\frac {2}{\pi ^{2}n^{2}}}\sin(n\pi )}$

i ostatecznie

${\displaystyle b_{n}={\frac {2\,(-1)^{n+1}}{\pi n}},n\geq 1}$

Można pokazać, że szereg Fouriera zbiega do funkcji ${\displaystyle s(x)}$ we wszystkich punktach ${\displaystyle x}$, w których funkcja ${\displaystyle s}$ jest ciągła, tj.

Wykres funkcji signum, w punkcie x=0 nieciągłej^[6] w sposób odosobniony, nieusuwalny i pierwszego rodzaju (zwyczajny).

${\displaystyle {\begin{aligned}S(x)&={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}\cos \left(nx\right)+b_{n}\sin \left(nx\right)\right]\\[4pt]&={\frac {2}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\sin(nx),\quad \mathrm {dla} \ x\neq \pm \pi ,\pm 3\pi ,\pm 5\pi ,\dots \end{aligned}}}$

Dla ${\displaystyle x=\pi }$ (i ogólnie dla ${\displaystyle x=\pm \pi ,\pm 3\pi ,\pm 5\pi ,\dots }$) szereg Fouriera zbiega do wartości 0. Wartość ta jest równa połowie sumy wartości granic lewo- i prawostronnych funkcji ${\displaystyle s(x)}$ w punkcie ${\displaystyle x=\pi }$. W punkcie ${\displaystyle x=\pi }$ funkcja nie została zdefiniowana. Jeżeli więc chcielibyśmy, by szereg był zbieżny do funkcji ${\displaystyle s(x)}$ w tym punkcie (i ogólnie dla ${\displaystyle x=\pm \pi ,\pm 3\pi ,\pm 5\pi ,\dots }$), to należałoby uzupełnić jej definicję przyjmując:

${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&s(x)={\tfrac {x}{\pi }}\,&&-\pi <x<\pi \,,\\&s(x+2\pi k)=s(x),&&-\pi <x<\pi ,k=0,\pm 1,\pm 2,\dots \\&s(x)=0,&&x=\pm \pi ,\pm 3\pi ,\pm 5\pi ,\dots \end{aligned}}\right.}$

Wniosek ten jest zawarty w twierdzeniu Dirichleta, które orzeka, iż^[5]

Jeżeli funkcja jest w przedziale ${\displaystyle -{\tfrac {T}{2}}<x<{\tfrac {T}{2}}}$ ograniczona i ciągła lub posiada nieciągłości najwyższej 1-go rodzaju (tj. spełniające warunek: w punkcie nieciągłości istnieją granice funkcji lewo- i prawostronna) i w skończonej liczbie, to (1) szereg Fouriera zbiega do funkcji w punktach ciągłości (2) w punktach nieciągłości szereg zbiega do wartości równej połowie sumy granic lewo- i prawostronnej funkcji w tych punktach.

Uwaga 1: Z powyższego przykładu widać, że funkcja rozwijana w szereg Fouriera może nie być zdefiniowana w punktach nieciągłości 1-go rodzaju - brak wartości funkcji w tych punktach nie przeszkadza w obliczaniu współczynników Fouriera ${\displaystyle a_{n},b_{n},}$ ani nie ma wpływu na ich wartość (bowiem wartości całek nie zależą od wartości funkcji na zbiorze miary zero, a takiej miary jest zbiór punktów nieciągłości funkcji).

Uwaga 2: Powyższy przykład prowadzi do rozwiązania tzw. problemu bazylejskiego.

Funkcja nieokresowa ${\displaystyle s(x)}$ o dziedzinie ${\displaystyle [0,L]}$ i generowany przez nią szereg Fouriera ${\displaystyle S(x)}$

Szereg Fouriera funkcji nieokresowej

Funkcję nieokresową ${\displaystyle s(x)}$, określoną dla ${\displaystyle x\in [-{\tfrac {L}{2}},{\tfrac {L}{2}}]}$ można rozwinąć w szereg Fouriera, obliczając współczynnika Fouriera jak dla funkcji okresowej o okresie ${\displaystyle T=L}$. Szereg Fouriera jest zawsze funkcją okresową, nawet jeśli oryginalna funkcja ${\displaystyle s(x)}$ nią nie jest. Jednak ograniczając się do wartości szeregu dla ${\displaystyle x\in [-{\tfrac {L}{2}},{\tfrac {L}{2}}]}$ otrzymamy rozkład oryginalnej funkcji na szereg Fouriera.

Funkcja ${\displaystyle s(x)}$ musi przy tym spełniać na przedziale zmienności te same warunki ograniczoności i ciągłości, co funkcja okresowa na przedziale ${\displaystyle T=L}$.

Uwaga:

Jeżeli funkcja ${\displaystyle f(x)}$ jest okresowa, to rozwinięcia w szereg Fouriera można dokonać na dowolnym przedziale ${\displaystyle x\in [-{\tfrac {L}{2}}+x_{0},{\tfrac {L}{2}}+x_{0}]}$, gdzie ${\displaystyle x_{0}}$ - dowolne przesunięcie powyższego zakresu; np. dla ${\displaystyle x\in [0,L]}$. Wtedy wystarczy obliczać całki na współczynniki rozwinięcia w innym zakresie.^[1] Analogicznie dotyczy to rozwinięć funkcji nieokresowych na innych przedziałach zmienności zmiennej ${\displaystyle x.}$

Dokładność aproksymacji funkcji szeregiem Fouriera. Efekt Gibbsa

Twierdzenie nt. dokładności aproksymacji

Tw. Przy zastąpieniu funkcji ${\displaystyle f(x)}$ przybliżoną sumą trygonometryczną

${\displaystyle S_{N}(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{N}\,[a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)]}$

średni błąd kwadratowy

${\displaystyle \delta ^{2}={\frac {1}{T}}\int \limits _{-T/2}^{T/2}[f(x)-S_{N}(x)]^{2}dx}$

jest najmniejszy, jeżeli za współczynniki ${\displaystyle a_{n},b_{n}}$ przyjmie się współczynniki Fouriera funkcji ${\displaystyle f(x)}$ ^[5].

Przykład

Zależność ${\displaystyle \theta (t)}$ położenia kątowego wahadła od czasu (drgania silnie nieliniowe; amplituda 179.98°; niebieski) oraz przybliżenie sumą częściową szeregu Fouriera (niebieski przerywany) i rozwiązaniem ${\displaystyle \theta (t)_{\text{Maclaurin-3}}}$, w którym człon nieliniowy ${\displaystyle \sin \theta (t)}$ równania wahadła przybliżono do trzeciego wyrazu szeregu Maclaurina.

Powyższe twierdzenie orzeka, iż spośród wszystkich funkcji, przybliżających daną funkcję za pomocą skończonej kombinacji liniowej funkcji sinusoidalnych i kosinusoidalnych najmniejszy średni błąd kwadratowy uzyska się dla współczynników będących współczynnikami rozwinięcia danej funkcji w szereg Fouriera. Dla ilustracji pokazano tu przybliżenia funkcji ${\displaystyle \theta (t)}$ (opisującej kat odchylania wahadła matematycznego od pionu) za pomocą dwóch funkcji o identycznych składowych harmonicznych, ale o różnych współczynnikach

(a) przybliżenie sumą częściową ${\displaystyle S_{3}}$ szeregu Fouriera funkcji ${\displaystyle \theta (t)}$

${\displaystyle S_{3}(t)=b_{1}\cdot \sin(\omega t)+b_{3}\cdot \sin(3\omega t)}$,

(b) przybliżenie funkcją ${\displaystyle \theta (t)_{\text{Maclaurin-3}}}$, która jest rozwiązaniem przybliżenia równania nieliniowego ruchu wahadła za pomocą rozwinięcia w szereg Maclaurina członu nieliniowego tego równania:

${\displaystyle \theta (t)_{\text{Maclaurin-3}}={\Big (}\theta _{0}+{\tfrac {\theta _{0}^{3}}{192}}{\Big )}\cdot \sin(\omega t)+{\tfrac {\theta _{0}^{3}}{192}}\cdot \sin(3\omega t),}$

gdzie:

• ${\displaystyle \theta _{0}}$ - amplituda drgań wahadła,
• ${\displaystyle \omega =2\pi /T}$, gdzie ${\displaystyle T(\theta _{0})=4{\sqrt {\tfrac {\ell }{g}}}\,\cdot K(\sin {\tfrac {\theta _{0}}{2}})}$ - okres drgań wahadła, słuszny dla dowolnych amplitud,
• ${\displaystyle K}$ - całka eliptyczna zupełna pierwszego rodzaju

Z obliczeń średniego błędu kwadratowego otrzymano:

(a) dla ${\displaystyle S_{3}}$: ${\displaystyle \delta ^{2}\approx 390}$

(a) dla ${\displaystyle \theta _{\text{Maclaurin-3}}}$: ${\displaystyle \delta ^{2}\approx 2201}$

Zwiększenie liczby wyrazów w liczeniu sumy częściowej Fouriera zmniejsza średni błąd kwadratowy; dla ${\displaystyle S_{100}}$ otrzymuje się ${\displaystyle \delta ^{2}=4\cdot 10^{-21}\approx 0}$. Widać stąd, iż analiza Fouriera stanowi skuteczne narzędzie znajdowania znakomitych aproksymacji rozwiązań równań różniczkowych.

• 
  Cztery sumy częściowe szeregu Fouriera zawierające 1, 2, 3 i 4 wyrazy, pokazujące, jak poprawia się przybliżenie funkcji prostokątnej ze wzrostem liczby wyrazów (tu dokładna animacja)
• 
  Cztery sumy częściowe szeregu Fouriera zawierające 1, 2, 3 i 4 wyrazy, pokazujące, jak poprawia się przybliżenie funkcji piłokształtnej ze wzrostem liczby wyrazów (tu dokładna animacja)

Efekt Gibbsa tj. powstawanie oscylacji o dużych amplitudach sum Fouriera w punktach nieciągłości funkcji aproksymowanej (pionowe odcinki wykresu).

Zależność aproksymacji od liczby wyrazów sumy aproksymującej

Dokładność aproksymacji danej funkcji za pomocą szeregu Fouriera zależy od liczby wyrazów N szeregu - im więcej wyrazów sumy częściowej, tym mniejszy jest średni błąd kwadratowy. Pokazują to poniższe animacje.

Efekt Gibbsa

Dla funkcji nieciągłych pojawia się tzw. efekt Gibbsa w aproksymacji - w punktach nieciągłości (odcinki skoków pionowych) następują silne odchylenia funkcji aproksymującej od wartości średniej, pomimo że maleje średni błąd kwadratowy aproksymacji danej funkcji za pomocą sum częściowych ${\displaystyle S_{N}}$ szeregu Fouriera wraz ze wzrostem liczby ${\displaystyle N}$ wyrazów sumy aproksymującej. W związku z tym stosuje się różne techniki wygładzania lokalnego funkcji aproksymującej w pobliży punktów nieciągłości.

Funkcja ${\displaystyle s_{6}(x)}$ (czerwona) to suma 6 funkcji sinus (niebieskie) i funkcja ${\displaystyle S(f)}$ ich amplitud ${\displaystyle b_{n}}$.

Widmo czyli amplitudy składowych harmonicznych

Współczynniki szeregu Fouriera ${\displaystyle a_{n},b_{n}}$ reprezentują amplitudy składowych harmonicznych ${\displaystyle \cos(n\omega x),\sin(n\omega x)}$, jakie zawiera dany sygnał. Zbiór tych współczynników nazywa się widmem danej funkcji.

Animacja obok pokazuje widmo funkcji, która ma jedynie składowe sinusoidalne widma.

Dalej pokazano widmo dla ogólnego przypadku.

Funkcja ${\displaystyle f(x)=x^{2}-0.1*x^{3}}$, jej funkcja aproksymująca - suma ${\displaystyle N=20}$ wyrazów szeregu Fouriera oraz widmo czyli zestaw współczynników ${\displaystyle a_{n},b_{n}}$

Obliczenia numeryczne szeregu Fouriera

Poniżej podano kod programu w języku Python, który dla danej funkcji ${\displaystyle f(x)}$ liczy współczynniki szeregu Fouriera ${\displaystyle a_{n},b_{n}}$, oblicza funkcję aproksymującą funkcję wyjściową, rysuje funkcję daną i aproksymującą oraz rysuje widmo składowych harmonicznych, którego wartości są równe wartościom składowych szeregu Fouriera.

Użytkownik może ustalić:

1. Parametr ${\displaystyle L}$ określający zakres ${\displaystyle [-L,L]}$, na którym jest zdefiniowana funkcja, taki że ${\displaystyle T=2L}$ (linia 9 kodu)
2. Liczbę ${\displaystyle N}$ wyrazów funkcji aproksymującej (linia nr 10)
3. Definicję funkcji ${\displaystyle f(x)}$ (linia nr 14)
4. Program można testować, korzystając np. z darmowego notatnika colab google online.

# JK 2024.08.16 v.1 Program oblicza współczynniki szeregu Fouriera danej funkcji,
# rysuje wykres funkcji i funkcji aproksymujacej, rysuje wykres widma

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import quad

# Parametry
L = np.pi  # Okres (od -L do L)
N = 10     # Liczba wyrazów w szeregu Fouriera

# Definicja funkcji f(x) = x
def f(x):
    return x*x-0.5*x**3

# Współczynniki a_n i b_n
a0 = (1 / L) * quad(f, -L, L)[0]

def a_n(n):
    integrand = lambda x: f(x) * np.cos(n * np.pi * x / L)
    result, _ = quad(integrand, -L, L)
    return result / L

def b_n(n):
    integrand = lambda x: f(x) * np.sin(n * np.pi * x / L)
    result, _ = quad(integrand, -L, L)
    return result / L

# Funkcja rekonstrukcji z szeregu Fouriera
def fourier_series(x, N):
    a0_term = a0 / 2
    sum_terms = sum(a_n(n) * np.cos(n * np.pi * x / L) + b_n(n) * np.sin(n * np.pi * x / L) for n in range(1, N + 1))
    return a0_term + sum_terms

# Zakres x dla wykresu
x_values = np.linspace(-L, L, 500)
f_values = f(x_values)
fs_values = [fourier_series(x, N) for x in x_values]

# Obliczanie współczynników dla widma
n_values = np.arange(1, N + 1)
a_n_values = np.array([a_n(n) for n in n_values])
b_n_values = np.array([b_n(n) for n in n_values])

# Wykres funkcji i szeregu Fouriera
plt.figure(figsize=(14, 6))

# Wykres funkcji i szeregu Fouriera
plt.subplot(1, 2, 1)
plt.plot(x_values, f_values, label="f(x) = x*x-0.5*x**3", color="blue")
plt.plot(x_values, fs_values, label=f"Szereg Fouriera, N = {N}", color="red", linestyle="--")
plt.title("Funkcja f(x) i jej szereg Fouriera")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("f(x)")
plt.legend()
plt.grid(True)

# Wykres widma Fouriera
plt.subplot(1, 2, 2)
plt.stem(n_values, np.abs(a_n_values), linefmt='b-', markerfmt='bo', basefmt='b-', label='a_n')
plt.stem(n_values, np.abs(b_n_values), linefmt='r-', markerfmt='ro', basefmt='r-', label='b_n')
plt.title("Widmo Fouriera")
plt.xlabel("n")
plt.ylabel("Amplituda")
plt.legend()
plt.grid(True)

plt.tight_layout()
plt.show()

Twierdzenia o rozwinięciu funkcji w szereg Fouriera

Aproksymacja funkcji prostokątnej szeregiem Fouriera; N=50. Widoczny efekt Gibbsa w punktach skoków funkcji

Aproksymacja funkcji piłokształtnej szeregiem Fouriera; N=50. Widoczny efekt Gibbsa w punktach skoków funkcji

Aproksymacja funkcji trójkątnej szeregiem Fouriera; N=25. Tu brak efektu Gibbsa, gdyż funkcja nie ma punktów nieciągłości.

Podane tu dwa zasadnicze twierdzenia dotyczą warunków rozwinięcia za pomocą szeregu Fouriera funkcji okresowej. Zakładamy, że funkcja ma okres ${\displaystyle T}$ i pulsację ${\displaystyle \omega ={\tfrac {2\pi }{T}}.}$ Twierdzenia poprzedzone są lematami, potrzebnymi do ich dowodów.

Lemat I (całki pomocnicze)

• ${\displaystyle n}$ jest liczbą całkowitą

${\displaystyle \int \limits _{-T/2}^{T/2}\cos n\omega x\,dx=\left\{{\begin{aligned}&0&&{\text{gdy}}~~n\neq 0\\&T&&{\text{gdy}}~~n=0\end{aligned}}\right.}$

${\displaystyle \int \limits _{-T/2}^{T/2}\sin n\omega x\,dx=0}$

• ${\displaystyle m,\ n}$ są liczbami naturalnymi

${\displaystyle \int \limits _{-T/2}^{T/2}\cos n\omega x\cdot \cos m\omega x\,dx=\left\{{\begin{aligned}&0&&{\text{gdy}}~~n\neq m\\&{\tfrac {T}{2}}&&{\text{gdy}}~~n=m\end{aligned}}\right.}$

${\displaystyle \int \limits _{-T/2}^{T/2}\sin n\omega x\cdot \sin m\omega x\,dx=\left\{{\begin{aligned}&0&&{\text{gdy}}~~n\neq m\\&{\tfrac {T}{2}}&&{\text{gdy}}~~n=m\end{aligned}}\right.}$

${\displaystyle \int \limits _{-T/2}^{T/2}\sin n\omega x\cdot \cos m\omega x\,dx=0}$

Lemat II

${\displaystyle {\frac {1}{2}}+\sum _{n=1}^{N}\cos n\alpha ={\frac {\sin \left(N+{\frac {1}{2}}\right)\alpha }{2\sin {\frac {1}{2}}\alpha }}}$

Dowód

${\displaystyle {\begin{aligned}&\;{\tfrac {1}{2}}+\sum _{n=1}^{N}\cos n\alpha \\=&\ \Re \left(-{\tfrac {1}{2}}+\sum _{n=0}^{N}e^{in\alpha }\right)\\=&\ \Re \left(-{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1-e^{i(N+1)\alpha }}{1-e^{i\alpha }}}\right)\\=&-{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{|1-e^{i\alpha }|^{2}}}\Re ((1-e^{i(N+1)\alpha })(1-e^{-i\alpha }))\\=&-{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{(1-\cos \alpha )^{2}+\sin ^{2}\alpha }}\Re (1-e^{-i\alpha }-e^{i(N+1)\alpha }+e^{iN\alpha })\end{aligned}}}$

więc mamy (biorąc cześć rzeczywistą i stosując podstawowe wzory trygonometryczne):

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\tfrac {1}{2}}+\sum _{n=1}^{N}\cos n\alpha \\=&-{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1-\cos \alpha -\cos(N+1)\alpha +\cos N\alpha }{2(1-\cos \alpha )}}\\=&\;{\tfrac {\cos N\alpha -\cos(N+1)\alpha }{2(1-\cos \alpha )}}\\=&\;{\tfrac {2\sin \left(N+{\tfrac {1}{2}}\right)\alpha \sin {\tfrac {1}{2}}\alpha }{4\sin ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }}\\=&\;{\tfrac {\sin \left(N+{\tfrac {1}{2}}\right)\alpha }{2\sin {\tfrac {1}{2}}\alpha }}\end{aligned}}}$

q. e. d.

Lemat III

Jeżeli ${\displaystyle f}$ jest funkcją ciągłą w przedziale ${\displaystyle [a,b]}$ z wyjątkiem co najwyżej skończonej ilości punktów i bezwzględnie całkowalną w tym przedziale to

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int \limits _{a}^{b}f(x)\sin nx\,{\text{d}}x=0}$

Twierdzenie (Eulera–Fouriera)

Jeżeli szereg o postaci (1.1) jest jednostajnie zbieżny do funkcji ${\displaystyle f}$ to współczynniki ${\displaystyle a_{k},\ b_{k}}$ wyrażają się wzorami (1.2), (1.3).

Dowód

${\displaystyle f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }\left(a_{k}\cos k\omega x+b_{k}\sin k\omega x\right)}$

Mnożąc powyższą równość przez ${\displaystyle \cos n\omega x,}$ całkując szereg w granicach od ${\displaystyle -{\tfrac {T}{2}}}$ do ${\displaystyle {\tfrac {T}{2}}}$ (uwzględniając zbieżność jednostajną szeregu stosujemy twierdzenie o całkowaniu szeregu wyraz po wyrazie) otrzymujemy:

${\displaystyle \int \limits _{-T/2}^{T/2}f(x)\cos n\omega x\,{\text{d}}x={\frac {a_{0}}{2}}\int \limits _{-T/2}^{T/2}\cos n\omega x\,{\text{d}}x+\sum _{k=1}^{\infty }\left(a_{k}\int \limits _{-T/2}^{T/2}\cos n\omega x\cdot \cos k\omega x\,{\text{d}}x+b_{k}\int \limits _{-T/2}^{T/2}\cos n\omega x\cdot \sin k\omega x{\text{d}}x\right)}$

Na mocy lematu I zerują się wszystkie całki po prawej stronie takie że ${\displaystyle n\neq k}$ (gdy ${\displaystyle n=0}$ zeruje się cała suma uogólniona). W związku z tym mamy:

${\displaystyle \int \limits _{-T/2}^{T/2}f(x)\cdot \cos n\omega x\,{\text{d}}x=a_{n}{\tfrac {T}{2}}}$

Stąd otrzymujemy wzór (1.2).

Dowód wzoru (1.3) przebiega analogicznie (tym razem mnożymy przez ${\displaystyle \sin n\omega x}$)

Twierdzenie (o rozwijalności funkcji w szereg Fouriera)

Jeżeli funkcja ${\displaystyle f(x)}$ jest różniczkowalna w punkcie ${\displaystyle x_{0},}$ to jej szereg Fouriera jest zbieżny do wartości funkcji w tym punkcie.

Innymi słowy: W punktach różniczkowalności funkcję da się rozwinąć w szereg Fouriera.

Dowód

Niech ${\displaystyle x_{0}}$ będzie punktem, w którym funkcja ${\displaystyle f(x)}$ jest różniczkowalna; mamy:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\;a_{n}\cos n\omega x_{0}+b_{n}\sin n\omega x_{0}\\=&\;{\tfrac {2}{T}}\int \limits _{-T/2}^{T/2}f(x)\,\cos n\omega x\,dx\cos n\omega x_{0}+{\tfrac {2}{T}}\int \limits _{-T/2}^{T/2}f(x)\sin n\omega xdx\sin n\omega x_{0}\\=&\;{\tfrac {2}{T}}\int \limits _{-T/2}^{T/2}f(x)(\cos n\omega x\cos n\omega x_{0}+\sin n\omega x\sin n\omega x_{0})dx\\=&\;{\tfrac {2}{T}}\int \limits _{-T/2}^{T/2}f(x)\cos n\omega (x-x_{0})dx\end{aligned}}}$

Suma cząstkowa szeregu Fouriera przedstawia się w następujący sposób:

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{N}&={\tfrac {1}{T}}\int \limits _{-T/2}^{T/2}f(x)dx+\sum _{n=1}^{N}{\tfrac {2}{T}}\int \limits _{-T/2}^{T/2}f(x)\cos n\omega (x-x_{0})dx\\&={\tfrac {2}{T}}\int \limits _{-T/2}^{T/2}f(x)\left({\tfrac {1}{2}}+\sum _{n=1}^{N}\cos n\omega (x-x_{0})\right)dx\end{aligned}}}$

Stosując do tego wyrażenia lemat II, otrzymujemy następujący wzór:

${\displaystyle S_{N}={\tfrac {2}{T}}\int \limits _{-T/2}^{T/2}f(x){\tfrac {\sin \omega \left(N+{\tfrac {1}{2}}\right)(x-x_{0})}{2\sin \omega {\frac {1}{2}}(x-x_{0})}}dx}$

Funkcja podcałkowa w powyższym wzorze jest funkcją o okresie T, możemy więc dokonać przesunięcia w dziedzinie i otrzymujemy:

${\displaystyle S_{N}={\tfrac {2}{T}}\int \limits _{-T/2}^{T/2}f(x+x_{0}){\tfrac {\sin \omega \left(N+{\frac {1}{2}}\right)x}{2\sin \omega {\frac {1}{2}}x}}dx}$

Funkcja tożsamościowo równa 1 na całym zbiorze liczb rzeczywistych jest rozwijalna w szereg Fouriera w każdym punkcie, kładąc ${\displaystyle f(x)=1,}$ mamy:

${\displaystyle 1={\tfrac {2}{T}}\int \limits _{-T/2}^{T/2}{\tfrac {\sin \omega \left(N+{\frac {1}{2}}\right)x}{2\sin \omega {\frac {1}{2}}x}}dx}$

Mnożąc powyższą równość przez ${\displaystyle f(x_{0})}$ i odejmując obustronnie od równania przedstawiającego sumę cząstkową szeregu, otrzymujemy:

${\displaystyle S_{N}-f(x_{0})={\frac {2}{T}}\int \limits _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}(f(x+x_{0})-f(x_{0})){\frac {\sin \omega \left(N+{\frac {1}{2}}\right)x}{2\sin \omega {\frac {1}{2}}x}}dx.}$

(2)

Rozważmy następującą granicę:

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\tfrac {f(x+x_{0})-f(x_{0})}{2\sin \omega {\tfrac {1}{2}}x}}=\lim _{x\to 0}{\tfrac {f(x+x_{0})-f(x_{0})}{x}}{\tfrac {x}{2\sin \omega {\tfrac {1}{2}}x}}={\tfrac {f'(x_{0})}{\omega }}}$

przy obliczaniu której korzystamy z różniczkowalności funkcji f(x) w punkcie ${\displaystyle x_{0}.}$

Możemy określić następującą funkcję:

${\displaystyle \phi (x)=\left\{{\begin{aligned}&{\tfrac {f(x+x_{0})-f(x_{0})}{2\sin \omega {\tfrac {1}{2}}x}}&&{\text{gdy}}~~x\neq 0\\&{\tfrac {f'(x_{0})}{\omega }}&&{\text{gdy}}~~x=0\end{aligned}}\right.}$

Mając na uwadze fakt, iż zmiana skończonej ilości wartości funkcji podcałkowej nie wpływa na wartość całki, wzór (2) możemy zapisać w postaci:

${\displaystyle S_{N}-f(x_{0})={\tfrac {2}{T}}\int \limits _{-T/2}^{T/2}\phi (x)\sin \omega \left(N+{\tfrac {1}{2}}\right)xdx}$

Funkcja podcałkowa spełnia założenia lematu Riemanna, tak więc:

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }(S_{N}-f(x_{0}))=\lim _{N\to \infty }{\tfrac {2}{T}}\int \limits _{-T/2}^{T/2}\phi (x)\sin \omega \left(N+{\tfrac {1}{2}}\right)xdx=0}$

czyli:

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }S_{N}=f(x_{0}).}$

q. e. d.

Przestrzeń Hilberta a szereg Fouriera

Baza zespolona szeregu Fouriera

Uwaga: W poniższych rozważaniach przyjęto, iż szereg Fouriera jest funkcją o okresie ${\displaystyle T=2\pi }$. W przypadku ${\displaystyle T\neq 2\pi }$ wszystkie własności pozostają nadal prawdziwe, gdyż wystarczy przeskalować daną funkcję do funkcji o okresie ${\displaystyle 2\pi }$.

Zbiór funkcji ${\displaystyle \left\{e_{n}=e^{inx}:n\in \mathbb {Z} \right\}}$ tworzy bazę ortonormalną przestrzeni funkcji całkowalnych w kwadracie ${\displaystyle L^{2}([-\pi ,\pi ])}$ na przedziale ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$, w której iloczyn skalarny ${\displaystyle \langle f|\,g\rangle }$ dwóch jej elementów ${\displaystyle f}$ oraz ${\displaystyle g}$ ma postać całkową:

${\displaystyle \langle f|\,g\rangle ={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)g^{*}(x)\,dx,}$

gdzie ${\displaystyle g^{*}(x)}$ oznacza sprzężenie zespolone funkcji gdyż

${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }e^{inx}\cdot e^{imx}\,dx={\begin{cases}2\pi ,&{\text{jeśli }}n=-m\\0,&{\text{jeśli }}n\neq -m\end{cases}}}$

Przestrzeń funkcyjna z tak zdefiniowanym iloczynem skalarnym jest nazywana przestrzenią Hilberta. Każdą funkcję ${\displaystyle f}$ tej przestrzeni można rozłożyć w jej bazie ortonormalnej w postaci szeregu

${\displaystyle f=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\langle f|e_{n}\rangle \,e_{n}}$

Powyższy szereg przedstawia de facto szereg Fouriera funkcji ${\displaystyle f}$ w jego zespolonym sformułowaniu, gdzie zamiast funkcji bazowych ${\displaystyle \sin(nx)}$ oraz ${\displaystyle \cos(nx)}$ mamy funkcje zespolone ${\displaystyle e_{n}=e^{inx}:n\in \mathbb {Z} }$.

Baza ortogonalna z funkcji sin i cos szeregu Fouriera

Funkcje ${\displaystyle f_{m}(x)=\sin(mx),}$ ${\displaystyle f_{n}(x)=\cos(nx),}$${\displaystyle m,n\in N}$ wraz z funkcją stałą ${\displaystyle f_{0}(x)=1}$ tworzą bazę ortogonalną przestrzeni Hilberta, gdyż: (1) całki z iloczynów ${\displaystyle \sin(mx)\cdot \cos(nx)}$zawsze są równe zero (obszary zielone i czerwone są równe i znoszą się), (2) całki z iloczynów ${\displaystyle \sin(mx)\cdot \sin(nx)}$ oraz ${\displaystyle \cos(mx)\cdot \cos(nx)}$ są niezerowe, równe ${\displaystyle \pi }$, tylko gdy ${\displaystyle m=n}$. Funkcje te tworzyłyby układ ortonormalny, gdyby całki te były równe 1, co można uzyskać mnożąc każdą funkcję sin i cos przez ${\displaystyle 1/{\sqrt {\pi }}}$.

Jako bazę ortogonalną w przestrzeni funkcji całkowalnych w kwadracie ${\displaystyle L^{2}([-\pi ,\pi ])}$ na przedziale ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$ można także wybrać funkcję stałą ${\displaystyle f_{0}(x)=1}$ oraz funkcje ${\displaystyle \sin(mx),\cos(nx)}$, dla ${\displaystyle m,n=1,2,\dots }$Analogicznie więc, jak dla bazy zespolonej, także szereg Fouriera z funkcjami sinus oraz cosinus przedstawia rozkład danej funkcji w bazie przestrzeni Hilberta.

Ortogonalność funkcji ${\displaystyle \sin(nx)}$ oraz ${\displaystyle \cos(nx)}$ wraz z funkcją stałą ${\displaystyle f_{0}(x)=\cos(0x)=1}$ wynika z poniższych całek:

${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\cos(mx)\,\cos(nx)\,dx=\pi \delta _{mn},\quad m,n\geq 1}$${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\sin(mx)\,\sin(nx)\,dx=\pi \delta _{mn},\quad m,n\geq 1}$

${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\cos(mx)\,\sin(nx)\,dx=0}$

gdzie ${\displaystyle \delta _{mn}=0}$ gdy ${\displaystyle m\neq n}$, ${\displaystyle \delta _{mn}=1}$ gdy ${\displaystyle m=n}$ (tj. ${\displaystyle \delta _{mn}}$ oznacza symbol Kroneckera)

Tabela popularnych szeregów Fouriera

W tabeli zestawiono popularne funkcje okresowe i ich współczynniki szeregu Fouriera

• ${\displaystyle s(x)}$ oznacza funkcję okresową o okresie ${\displaystyle P}$
• ${\displaystyle a_{0},a_{n},b_{n}}$ oznaczają współczynniki szeregu Fouriera w formie trygonometrycznej (sin-cos) dla funkcji okresowych ${\displaystyle s(x)}$.

Funkcja oryginalna ${\displaystyle s(x)}$	Wykres funkcji	Współczynniki szeregu Fouriera w postaci trygonometrycznej ${\displaystyle {\begin{aligned}&a_{0}\\&a_{n}\quad {\text{for }}n\geq 1\\&b_{n}\quad {\text{for }}n\geq 1\end{aligned}}}$	Uwagi
${\displaystyle s(x)=A\left|\sin \left({\frac {2\pi }{P}}x\right)\right|\quad {\text{dla }}0\leq x<P}$		${\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}=&{\frac {2A}{\pi }}\\a_{n}=&{\begin{cases}{\frac {-4A}{\pi }}{\frac {1}{n^{2}-1}}&\quad n{\text{ parzyste}}\\0&\quad n{\text{ nieparzyste }}\end{cases}}\\b_{n}=&0\\\end{aligned}}}$	wartość bezwzględna funkcji sinus
${\displaystyle s(x)={\begin{cases}A\sin \left({\frac {2\pi }{P}}x\right)&\quad {\text{dla }}0\leq x<P/2\\0&\quad {\text{dla }}P/2\leq x<P\\\end{cases}}}$		${\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}=&{\frac {A}{\pi }}\\a_{n}=&{\begin{cases}{\frac {-2A}{\pi }}{\frac {1}{n^{2}-1}}&\quad n{\text{ parzyste}}\\0&\quad n{\text{ nieparzyste}}\end{cases}}\\b_{n}=&{\begin{cases}{\frac {A}{2}}&\quad n=1\\0&\quad n>1\end{cases}}\\\end{aligned}}}$	Funkcja sinus połówkowo filtrowana
${\displaystyle s(x)={\begin{cases}A&\quad {\text{dla }}0\leq x<D\cdot P\\0&\quad {\text{dla }}D\cdot P\leq x<P\\\end{cases}}}$		${\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}=&AD\\a_{n}=&{\frac {A}{n\pi }}\sin \left(2\pi nD\right)\\b_{n}=&{\frac {2A}{n\pi }}\left(\sin \left(\pi nD\right)\right)^{2}\\\end{aligned}}}$	${\displaystyle 0\leq D\leq 1}$
${\displaystyle s(x)={\frac {Ax}{P}}\quad {\text{dla }}0\leq x<P}$		${\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}=&{\frac {A}{2}}\\a_{n}=&0\\b_{n}=&{\frac {-A}{n\pi }}\\\end{aligned}}}$
${\displaystyle s(x)=A-{\frac {Ax}{P}}\quad {\text{dla }}0\leq x<P}$		${\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}=&{\frac {A}{2}}\\a_{n}=&0\\b_{n}=&{\frac {A}{n\pi }}\\\end{aligned}}}$
${\displaystyle s(x)={\frac {4A}{P^{2}}}\left(x-{\frac {P}{2}}\right)^{2}\quad {\text{dla }}0\leq x<P}$		${\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}=&{\frac {A}{3}}\\a_{n}=&{\frac {4A}{\pi ^{2}n^{2}}}\\b_{n}=&0\\\end{aligned}}}$

Tabela podstawowych własności

Tabela zestawia operacje matematyczne wykonywane na danych funkcjach i wpływ tych operacji na współczynniki szeregów Fouriera oraz wpływ operacji wykonywanych na współczynnikach Fouriera i ich wpływ na dane funkcje. Notacja:

• Sprzężenie zespolone jest oznaczane gwiazdką.
• ${\displaystyle s(x),r(x)}$ oznaczają ${\displaystyle T}$-okresowe funkcje lub funkcje nieokresowe, zdefiniowane tylko dla ${\displaystyle x\in [0,T].}$
• ${\displaystyle S[n],R[n]}$ oznaczają współczynniki szeregów Fouriera w postaci zespolonej odpowiednio dla funkcji ${\displaystyle s(x)}$ oraz ${\displaystyle r(x).}$

Własności	Dziedzina funkcji	Dziedzina częstotliwości (dla postaci zespolonej szeregu)	Uwagi
Liniowość	${\displaystyle a\cdot s(x)+b\cdot r(x)}$	${\displaystyle a\cdot S[n]+b\cdot R[n]}$	${\displaystyle a,b\in \mathbb {C} }$
Odwrócenie czasu / Odwrócenie częstotliwości	${\displaystyle s(-x)}$	${\displaystyle S[-n]}$
Sprzężenie w dziedzinie czasu	${\displaystyle s^{*}(x)}$	${\displaystyle S^{*}[-n]}$
Odwrócenie w dziedzinie czasu i sprzężenie	${\displaystyle s^{*}(-x)}$	${\displaystyle S^{*}[n]}$
Obliczanie części rzeczywistej funkcji	${\displaystyle \operatorname {Re} {(s(x))}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}(S[n]+S^{*}[-n])}$
Obliczanie części urojonej funkcji	${\displaystyle \operatorname {Im} {(s(x))}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2i}}(S[n]-S^{*}[-n])}$
Obliczanie części rzeczywistej współczynnika częstotliwości	${\displaystyle {\frac {1}{2}}(s(x)+s^{*}(-x))}$	${\displaystyle \operatorname {Re} {(S[n])}}$
Obliczanie części urojonej współczynnika częstotliwości	${\displaystyle {\frac {1}{2i}}(s(x)-s^{*}(-x))}$	${\displaystyle \operatorname {Im} {(S[n])}}$
Przesunięcie w czasie w danej funkcji / modulacja współczynników częstotliwości	${\displaystyle s(x-x_{0})}$	${\displaystyle S[n]\cdot e^{-i2\pi {\tfrac {x_{0}}{P}}n}}$	${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} }$
Przesunięcie współczynników częstotliwości / modulacja danej funkcji	${\displaystyle s(x)\cdot e^{i2\pi {\frac {n_{0}}{P}}x}}$	${\displaystyle S[n-n_{0}]\!}$	${\displaystyle n_{0}\in \mathbb {Z} }$

Szereg Fouriera funkcji 2 zmiennych

Szereg Fouriera dla funkcji dwóch zmiennych ${\displaystyle x}$ oraz ${\displaystyle y}$ określonych w dziedzinie ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]\times [-\pi ,\pi ]}$ w formie zespolonej ma postać:

${\displaystyle f(x,y)=\sum _{m\in \mathbb {Z} }\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{mn}e^{i\,mx}e^{i\,ny}\,,}$

gdzie współczynniki rozwinięcia dane są wzorem

${\displaystyle c_{mn}={\frac {1}{4\pi ^{2}}}\int _{-\pi }^{\pi }\int _{-\pi }^{\pi }f(x,y)\,e^{-i\,mx}e^{-i\,ny}\,dx\,dy}$

Przypisy

1. Bronsztejn ↓, s. 637.
2. Bronsztejn ↓, s. 640.
3. Transformata Fouriera – prezentacja. [dostęp 2009-12-22].
4. Szereg Fouriera, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-07-29].
5. Bronsztejn ↓, s. 638.
6. funkcja nieciągła, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2022-10-04].

Bibliografia

• I. N. Bronsztejn, K. A. Siemiendiajew, Poradnik encyklopedyczny Matematyka, PWN, Warszawa 2019, str. 637-647.
• Barbara Piłat, Mariusz. J. Wasilewski, Tablice całek, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa 1985, s. 83-89 Współczynniki szeregów Fouriera wybranych funkcji. ISBN ISBN 978-83-20-40-525-5
• Tadeusz Trajdos, Matematyka dla inżynierów, PWN, Warszawa 1974, str. 534-544.
• Hans Niels Jahnke: A history of analysis. Providence, RI: American Mathematical Society, 2003. ISBN 0-8218-2623-9. OCLC 51607350.

Zobacz też

• transformata Fouriera
• dyskretna transformata Fouriera
• szybka transformata Fouriera

Inne:

• okno czasowe
• widmowa gęstość mocy

Linki zewnętrzne

Polskojęzyczne

• Materiały dydaktyczne DSP AGH. dsp.agh.edu.pl. [zarchiwizowane z tego adresu (2013-12-17)].

Anglojęzyczne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Fourier Series, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12] (ang.).
• Aplet Java obrazujący idee szeregu Fouriera
• Grant Sanderson, But what is a Fourier series? From heat flow to circle drawings, kanał 3blue1brown na YouTube, 30 czerwca 2019 [dostęp 2021-03-15].

Kontrola autorytatywna (szereg funkcyjny):

• LCCN: sh85051090
• GND: 4155109-6
• NDL: 00562088
• BnF: 11979488t
• BNCF: 35891
• NKC: ph135377
• BNE: XX540313
• J9U: 987007548250805171

Encyklopedie internetowe:

• PWN: 3902344
• Britannica: topic/Fourier-series
• БРЭ: 4726403
• SNL: fourierrekker