Skala alefów

Skala alefów – ciąg wszystkich początkowych liczb porządkowych indeksowany liczbami porządkowymi. Oznaczenie „alef” na moc zbioru nieskończonego zostało wprowadzone przez Georga Cantora.

Definicja formalna

Przy założeniu aksjomatu wyboru mówi się, że liczba porządkowa ${\displaystyle \alpha }$ jest początkową liczbą porządkową (albo liczbą kardynalną), jeśli ${\displaystyle \alpha }$ nie jest równoliczna z żadną liczbą porządkową od niej mniejszą. Przez indukcję po wszystkich liczbach porządkowych ${\displaystyle \alpha \in {\mathbf {ON} }}$ definiujemy ciąg ${\displaystyle \langle \aleph _{\alpha }\colon \,\alpha \in {\mathbf {ON} }\rangle }$ (jest to klasa właściwa):

• ${\displaystyle \aleph _{0}}$ jest pierwszą nieskończoną liczbą porządkową
• ${\displaystyle \aleph _{\alpha +1}}$ jest pierwszą początkową liczbą porządkową większą od ${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$
• jeśli ${\displaystyle \gamma }$ jest liczbą graniczną, to

${\displaystyle \aleph _{\gamma }=\sup \limits _{\alpha <\gamma }\aleph _{\alpha }=\bigcup \limits _{\alpha <\gamma }\aleph _{\alpha }.}$

Należy zauważyć, że czasami stosuje się oznaczenie ${\displaystyle \omega _{\alpha }}$ na ${\displaystyle \aleph _{\alpha }.}$ Zwykle ma to miejsce wtedy, gdy chcemy podkreślić, że jesteśmy zainteresowani strukturą porządkową, a nie tylko mocą zbioru. Tak więc zapis „${\displaystyle \omega _{\alpha }}$” oznacza często ${\displaystyle \alpha }$-tą początkową liczbę porządkową z porządkiem, natomiast „${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$” to ten sam zbiór, ale bez struktury porządkowej.

Przykłady

Alef zero, pierwsza nieskończona liczba kardynalna

• ${\displaystyle \aleph _{0}}$ (też nazywane ${\displaystyle \omega }$ lub ${\displaystyle \omega _{0}}$) jest licznością zbioru liczb naturalnych^[1]. ${\displaystyle \aleph _{0}}$ jest najmniejszą nieskończoną liczbą kardynalną.
• ${\displaystyle \aleph _{1}}$ (też nazywane ${\displaystyle \omega _{1}}$) jest pierwszą nieprzeliczalną liczbą porządkową.
• ${\displaystyle \aleph _{\aleph _{0}}}$ (zwykle nazywane ${\displaystyle \aleph _{\omega }}$) jest najmniejszą liczbą, która jest większa niż ${\displaystyle \aleph _{0},\aleph _{1},\aleph _{2},\dots }$ Innymi słowy, ${\displaystyle \aleph _{\omega }}$ jest pierwszą liczbą ${\displaystyle \kappa }$ z własnością, że istnieje nieskończenie wiele liczb nieskończonych mniejszych od ${\displaystyle \kappa .}$
• ${\displaystyle \aleph _{\omega _{1}}}$ jest pierwszą liczbą ${\displaystyle \kappa }$ z własnością, że istnieje nieprzeliczalnie wiele liczb kardynalnych mniejszych od ${\displaystyle \kappa .}$

Własności

• W aksjomatyce Zermela-Fraenkla z aksjomatem wyboru każdy nieskończony zbiór X jest równoliczny z pewnym alefem (nazywanym mocą zbioru X).
• Istnieją liczby porządkowe ${\displaystyle \alpha }$ takie że ${\displaystyle \alpha =\aleph _{\alpha }}$ (są to tzw. punkty stałe skali alefów). Jeśli ${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$ jest liczbą nieosiągalną, to ${\displaystyle \aleph _{\alpha }=\alpha ,}$ ale punkty stałe skali alefów można spotkać dużo wcześniej. Pierwszą taką liczbą jest granica (kres górny) ciągu ${\displaystyle \aleph _{0},\aleph _{\aleph _{0}},\aleph _{\aleph _{\aleph _{0}}},\dots }$
• Hipoteza continuum mówi, że zbiór ${\displaystyle \mathbb {R} }$ jest równoliczny z ${\displaystyle \aleph _{1}.}$
• ${\displaystyle \aleph _{\omega }}$ ma tę ciekawą własność, że jest pierwszą nieprzeliczalną liczbą kardynalną, która nie może być mocą zbioru liczb rzeczywistych. Sporo badań było poświęconych zagadnieniu, jakie wartości może mieć ${\displaystyle \aleph _{\omega }^{\aleph _{0}}.}$ Po serii wyników niezależnościowych otrzymywanych przy założeniu dużych liczb kardynalnych przez wielu matematyków Saharon Szelach podał następujące niespodziewane ograniczenie górne:

${\displaystyle \aleph _{\omega }^{\aleph _{0}}\leqslant 2^{\aleph _{0}}+\aleph _{\omega _{4}}.}$

Znak ℵ (alef)

Alef jest pierwszą literą alfabetu hebrajskiego. Symbol ℵ używany w matematyce często reprezentowany jest jednak w systemach komputerowych inaczej niż litera hebrajska, między innymi z powodu innego kierunku pisma (od lewej do prawej w przypadku formuł matematycznych i od prawej do lewej w przypadku tekstu hebrajskiego).

• W standardzie Unicode matematyczny symbol ℵ reprezentowany jest kodem U+2135 (&#8501; w HTML/XML), podczas gdy litera hebrajska kodem U+05D0 (&#1488; w HTML/XML).
• W systemie składu tekstu LaTeX symbol alef reprezentowany jest sekwencją kontrolną \aleph. Np. \aleph_0 daje w druku ${\displaystyle \aleph _{0}.}$

Przypisy

1. Alef zero, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-07-22].

Bibliografia

• Thomas Jech: Set theory. The Third Millennium Edition, revised and expanded. Berlin: Springer-Verlag, 2002, s. 29–33. ISBN 3-540-44085-2.

Encyklopedie internetowe (system liczbowy):

• PWN: 3867527
• Catalana: 0196638