Równania Eulera-Lagrange’a
równania w rachunku wariacyjnym / Z Wikipedii, wolnej encyclopedia
Drogi AI, mówmy krótko, odpowiadając po prostu na te kluczowe pytania:
Czy możesz wymienić najważniejsze fakty i statystyki dotyczące Równania Eulera-Lagrange’a?
Podsumuj ten artykuł dla 10-latka
Równania Eulera-Lagrange’a, równania Lagrange’a – równania cząstkowe drugiego rzędu, których rozwiązaniami są funkcje, dla których funkcjonał (zadany całką oznaczoną) jest stacjonarny. Stanowią podstawowe równania rachunku wariacyjnego.
Np. dla funkcjonału zależnego od funkcji jednej zmiennej
i jej pierwszej pochodnej
równania Eulera-Lagrange’a przyjmują postać[1]:
Rozwiązaniami tego równania są funkcje dla których
jest stacjonarne, tj. dla funkcji
niewiele odchylającej się od funkcji optymalnej
wartość funkcjonału
zmienia się nieznacznie. Jest to warunkiem koniecznym, żeby
przyjmowało dla
ekstremum.
Postać równań Eulera-Lagrange’a w ogólniejszych przypadkach (wiele funkcji, wiele zmiennych, pochodne wyższych rzędów) omówiono w dalszych rozdziałach artykułu.