Rozkład Dirichleta – rodzina wielowymiarowych ciągłych rozkładów prawdopodobieństwa, sparametryzowana z wykorzystaniem K-elementowego wektora
dodatnich liczb rzeczywistych. Stanowi uogólnienie rozkładu beta dla zmiennej wielowymiarowej (wektora losowego).
Szybkie fakty Parametry, Nośnik ...
Rozkład Dirichleta
Gęstość prawdopodobieństwa
Kilka wykresów gęstości prawdopodobieństwa dla rozkładu Dirichleta, kiedy dla różnych parametrów wektorów Zgodnie z kierunkiem wskazówek zegara od górnego lewego: (6; 2; 2), (3; 7; 5), (6; 2; 6), (2; 3; 4). |
Parametry |
ilość kategorii (całkowitych)
parametry skupienia, gdzie ![{\displaystyle \alpha _{i}>0}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ca574e2543100c77034d89176082da023382a75)
|
Nośnik |
gdzie oraz ![{\displaystyle \sum _{i=1}^{K}x_{i}=1}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/599e15e335fdf3eb6b0c1b38d0497f249ac90ecf)
|
Gęstość prawdopodobieństwa |
![{\displaystyle {\frac {1}{\mathrm {B} ({\boldsymbol {\alpha }})}}\prod _{i=1}^{K}x_{i}^{\alpha _{i}-1}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d392e761ac5e0ba745945da497d6e007a544778) gdzie ![{\displaystyle \mathrm {B} ({\boldsymbol {\alpha }})={\frac {\prod _{i=1}^{K}\Gamma (\alpha _{i})}{\Gamma {\big (}\sum _{i=1}^{K}\alpha _{i}{\big )}}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/966026ecd44e718f028ea2daf23cc287094b52ad)
|
Wartość oczekiwana (średnia) |
![{\displaystyle \operatorname {E} [X_{i}]={\frac {\alpha _{i}}{\sum _{k}\alpha _{k}}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fba3f45d2d1945a428884b57067ac66a7481ad10)
![{\displaystyle \operatorname {E} [\ln X_{i}]=\psi (\alpha _{i})-\psi (\textstyle \sum _{k}\alpha _{k})}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af11020481980cb1aa891045a0f07ebb172ccd3d) gdzie to funcja digamma, czyli pochodna logarytmiczna funkcji gamma
|
Moda |
![{\displaystyle x_{i}={\frac {\alpha _{i}-1}{\sum _{i=1}^{K}\alpha _{i}-K}},\quad \alpha _{i}>1.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f7268cb5159d77d8889f02ed008295fa2e54b35)
|
Wariancja |
![{\displaystyle \mathrm {Var} [X_{i}]={\frac {\alpha _{i}(\alpha _{0}-\alpha _{i})}{\alpha _{0}^{2}(\alpha _{0}+1)}},}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/999314674c510668913c93c961ce9cf2552b8f89) gdzie ![{\displaystyle \alpha _{0}=\sum _{i=1}^{K}\alpha _{i}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4829cdc7d0f51e80a85a291d850c6e97be2e07f)
![{\displaystyle \mathrm {Cov} [X_{i},X_{j}]={\frac {-\alpha _{i}\alpha _{j}}{\alpha _{0}^{2}(\alpha _{0}+1)}}~~(i\neq j)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75f4c24c135ad1e8b18d4780f8c62f82fe43002d)
|
Entropia |
![{\displaystyle H(X)=\log \mathrm {B} (\alpha )+(\alpha _{0}-K)\psi (\alpha _{0})-\sum _{j=1}^{K}(\alpha _{j}-1)\psi (\alpha _{j})}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ede9d168f71c70b13869b6561bb79b984cbf0edb)
|
Zamknij
Rozkład Dirichleta jest często wykorzystywany w statystyce bayesowskiej jako rozkład aprioryczny i faktycznie rozkład Dirichleta jest rozkładem sprzężonym rozkładu wielopunktowego i rozkładu wielomianowego. W efekcie funkcja rozkładu zwraca przekonanie, że prawdopodobieństwo
możliwych zdarzeń losowych wynosi
biorąc pod uwagę, że każde zdarzenie zostało zaobserwowane
razy.
Wielowymiarowym uogólnieniem rozkładu Dirichleta jest proces Dirichleta.