Liczby bliźniacze

Liczby bliźniacze – dwie liczby pierwsze, których różnica wynosi 2^[1], np.: 3 i 5, 5 i 7, 11 i 13.

Liczba liczb pierwszych bliźniaczych w danym zakresie.

Skończoność zbioru par liczb bliźniaczych

Do dzisiaj nie wiadomo, czy liczb bliźniaczych jest nieskończenie wiele, jak sugeruje hipoteza o liczbach pierwszych bliźniaczych.

W 1919 roku norweski matematyk Viggo Brun udowodnił, że szereg odwrotności liczb bliźniaczych jest zbieżny^[2]:

${\displaystyle \left({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}\right)+\left({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}\right)+\left({\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}\right)+\left({\frac {1}{17}}+{\frac {1}{19}}\right)+\left({\frac {1}{29}}+{\frac {1}{31}}\right)+\ldots =1{,}9021605831\dots }$

Własności liczb bliźniaczych

• Liczba 5 jest bliźniacza zarówno z 3, jak i z 7. Nie istnieje inna liczba pierwsza bliźniacza z dwiema liczbami.

Dowód:

Istnieją trzy możliwe przypadki ciągu liczb naturalnych o różnicy 2 dla ${\displaystyle n}$ naturalnego: ${\displaystyle (3n,3n+2,3n+4)}$ ${\displaystyle (3n+1,3n+3,3n+5)}$ lub ${\displaystyle (3n+2,3n+4,3n+6).}$ W każdym z nich jest jedna liczba podzielna przez 3: odpowiednio: ${\displaystyle 3n,}$ ${\displaystyle 3n+3=3(n+1)}$ i ${\displaystyle 3n+6=3(n+2).}$ Oznacza to, że aby w ciągu trzech liczb naturalnych wszystkie były pierwsze, jedna z nich musi być równa 3. Istnieją dwa takie ciągi: ${\displaystyle (3,5,7),}$ i ${\displaystyle (1,3,5),}$ lecz 1 z definicji nie jest liczbą pierwszą.

• Największe znane dziś liczby bliźniacze, każda składająca się z 388 342 cyfr, to 2996863034895·2^1290000 ± 1 znalezione w 2016 roku^[3],
• Z wyjątkiem par 3 i 5 oraz 5 i 7, ostatnimi cyframi liczb bliźniaczych mogą być: 1 i 3 (na przykład 11 i 13), 7 i 9 (na przykład 17 i 19) oraz 9 i 1 (na przykład 29 i 31).
• Dla każdej pary liczb bliźniaczych większych lub równych 5, liczba naturalna między nimi (rozdzielająca parę) jest podzielna przez 6. Wynika to z faktu, że jest ona parzysta i ponieważ w każdej trójce kolejnych liczb jest liczba podzielna przez trzy (bo dwie pozostałe są pierwsze), to mamy również podzielność przez iloczyn liczb dwa i trzy.

Wszystkie liczby bliźniacze do 2000

3 i 5 5 i 7 11 i 13 17 i 19 29 i 31 41 i 43 59 i 61 71 i 73 101 i 103 107 i 109 137 i 139 149 i 151 179 i 181 191 i 193 197 i 199 227 i 229 239 i 241

269 i 271 281 i 283 311 i 313 347 i 349 419 i 421 431 i 433 461 i 463 521 i 523 569 i 571 599 i 601 617 i 619 641 i 643 659 i 661 809 i 811 821 i 823 827 i 829 857 i 859

881 i 883 1019 i 1021 1031 i 1033 1049 i 1051 1061 i 1063 1091 i 1093 1151 i 1153 1229 i 1231 1277 i 1279 1289 i 1291 1301 i 1303 1319 i 1321 1427 i 1429 1451 i 1453 1481 i 1483 1487 i 1489 1607 i 1609

1619 i 1621 1667 i 1669 1697 i 1699 1721 i 1723 1787 i 1789 1871 i 1873 1877 i 1879 1931 i 1933 1949 i 1951 1997 i 1999

Przypisy

1. liczby bliźniacze, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-09-30].
2. Enumeration to 1.6e15 of the twin primes and Brun’s constant. trnicely.net. [zarchiwizowane z tego adresu (2013-12-08)]. (ang.).
3. The Ten Largest Known Twin Primes.

Bibliografia

• Lidia Filist, Artur Malina, Alicja Solecka: Słownik matematyczny. Wrocław: Wydawnictwo Europa, 2005, s. 150. ISBN 83-88962-41-8.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Twin Primes, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2022-07-02].

Encyklopedie internetowe (liczba pierwsza):

• Britannica: topic/twin-prime-numbers