Lemat Bootha

Lemat Bootha – zdanie teorii mnogości dotyczące nieskończonych rodzin podzbiorów zbiorów przeliczalnych o pewnych własnościach. Zdanie to jest niezależne od standardowych aksjomatów teorii mnogości, to znaczy na ich gruncie nie można go ani udowodnić, ani obalić. Jest ono oznaczane symbolami:

${\displaystyle {\text{LB}},\;\mathrm {P} ({\mathfrak {c}})}$ lub ${\displaystyle {\mathfrak {p}}={\mathfrak {c}}.}$

Zdarza się, że ${\displaystyle {\text{LB}}}$ albo jego zaprzeczenie jest użyteczne w dowodach, dlatego niekiedy jedno z tych zdań przyjmowane jest jako dodatkowy aksjomat. Nazwa zdania pochodzi od nazwiska matematyka Davida Bootha, który dowiódł, że aksjomat Martina pociąga ${\displaystyle {\text{LB}}}$^[1].

${\displaystyle {\text{LB}}{:}}$ Niech ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ będzie rodziną nieskończonych podzbiorów zbioru przeliczalnego ${\displaystyle X}$ mocy mniejszej niż continuum. Jeśli dla każdej skończonej podrodziny ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {A}}}$ zbiór ${\displaystyle \bigcap {\mathcal {B}}}$ jest nieskończony (innymi słowy: ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ generuje filtr nie zawierający zbiorów skończonych), to istnieje zbiór nieskończony ${\displaystyle B\subseteq X}$ (tzw. pseudoprzekrój rodziny ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$) taki, że ${\displaystyle B\subseteq ^{*}A}$ (tzn. ${\displaystyle B\setminus A}$ jest skończony) dla każdego zbioru ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}.}$

Zobacz też

• diagram Cichonia
• hipoteza continuum

Przypisy

1. David Booth: Ultrafilters over a countable set. „Annals of Mathematical Logic”, 2 (1970), s. 1–24.