Grupa przestrzenna

Grupa przestrzenna – w matematyce, geometrii i krystalografii jest to grupa symetrii. W krystalografii termin ten jest uproszczeniem pełnej nazwy krystalograficzna grupa przestrzenna lub grupa Fiodorowa. Krystalograficzne grupy przestrzenne przedstawiają i opisują symetrie kryształów^[1][2]. Są to nieskończone grupy dyskretne.

W przestrzeni trójwymiarowej istnieje 219 różnych typów grup przestrzennych (230 uwzględniając chiralne). Grupy przestrzenne są badane i występują także w przestrzeniach o różnej liczbie wymiarów. Za przykład mogą posłużyć grupy Bieberbacha^[3].

Rys historyczny

Grupy przestrzenne w przestrzeni dwuwymiarowej były znane od bardzo dawna. Pierwsze grupy przestrzenne dla przestrzeni trójwymiarowej wyliczono pod koniec XIX wieku. W 1891 roku dokonali tego niezależnie Fiodorow (1853-1919) i Schoenflies (1853-1928). W 1894 roku wyliczeń dokonał również Barlow (1845-1934). Pierwsze prace zawierały błędy. Fiodorow i Schoenflies korespondencyjnie wymienili się wyliczeniami. Rezultatem tego była w pełni poprawna lista 230 grup przestrzennych^[4][5][6].

Elementy grup przestrzennych

Grupy przestrzenne w trójwymiarowej przestrzeni powstały w wyniku połączenia 32 krystalograficznych grup punktowych z 14 sieciami Bravais’go należących do jednego z 7 układów krystalograficznych. Z tego powodu grupy przestrzenne uwzględniają kombinacje translacji komórki elementarnej i operacji wykonywanych na grupach punktowych.

Notacje grup przestrzennych

Istnieje co najmniej dziewięć sposobów określania grup przestrzennych:

• numeryczna – Międzynarodowa Unia Krystalografii (IUCr) publikuje tabele wszystkich typów grup przestrzennych i przypisuje każdej unikatowy numer od 1 do 230. Grupy przestrzenne tych samych układów krystalograficznych i grup punktowych przydzielone mają kolejne numery.

• międzynarodowa (M, notacja Hermanna–Mauguina) – składa się z dużej litery oznaczającej typ sieci Bravais’go, z liczb oznaczających osie symetrii zwykłe, inwersyjne lub śrubowe oraz z małych liter jako symboli płaszczyzn symetrii i poślizgu. Znając reguły składania elementów symetrii możliwe jest przedstawienie rozmieszczenia elementów symetrii w komórce elementarnej^[7].

• notacja Halla^[8]

• notacja Kreutza-Zaremby – za twórcze elementy symetrii przyjmuje się osie i środek symetrii. W symbolach klas opuszcza się płaszczyzny symetrii, jeżeli wynikają one z iloczynu osi parzystokrotnych i środka symetrii.

• notacja Schoenfliesa – składa się z dużej litery C, D, S, T, O określającej rodzaj grupy obrotowej oraz z dolnych indeksów informujących o krotności głównej osi symetrii (n), rodzaju płaszczyzny symetrii (v, h, d) i o istnieniu środka symetrii (i). Z takich symboli nie można określić typu sieci Bravais’go i wszystkich elementów symetrii grupy^[7].

• symbol Szubnikowa

• notacja orbifold dla dwuwymiarowej przestrzeni i notacja fibrifold dla trójwymiarowej przestrzeni – twory matematyczne wprowadzone przez Conwaya i Thurstona. Niektórym grupom przestrzennym można przyporządkować symbole orbifoldów i fibrifoldów^[9].

• notacja Coxetera – przestrzenna i punktowa grupa symetrii przedstawiona w postaci grup Coxetera.

Klasyfikacja grup przestrzennych

Istnieje co najmniej 10 różnych możliwości klasyfikowania grup przestrzennych w przestrzeni trójwymiarowej. Skatalogowane są w tabeli od postaci najbardziej szerokiej, aż do wąskich klas na samym dole:

Krystalograficzne grupy przestrzenne (230 klas)
Afiniczne grupy przestrzenne (219 klas)
Arytmetyczne grupy przestrzenne (73 klasy)
Klasy krystalograficzne (32 klasy)	Grupa punktowa sieci Bravais’go (14 klas)
Układ krystalograficzny (7 klas)	Sieć Bravais’go (7 klas)
Rodzina krystalograficzna (6 klas)

Grupa przestrzenna w 3 wymiarach

	Układ krystalograficzny	Grupy punktowe		Grupy przestrzenne
		M	Schoenflies
1	trójskośny (2)	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle C_{1}}$	${\displaystyle P1}$
2		${\displaystyle {\bar {1}}}$	${\displaystyle C_{i}}$	${\displaystyle P{\overline {1}}}$
3–5	jednoskośny (13)	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle C_{2}}$	${\displaystyle P2,P2_{1},C2}$
6–9		${\displaystyle m}$	${\displaystyle C_{s}}$	${\displaystyle Pm,Pc,Cm,Cc}$
10–15		${\displaystyle 2/m}$	${\displaystyle C_{2h}}$	${\displaystyle P2/m,P2_{1}/m,C2/m,P2/c,P2_{1}/c,C2/c}$
16–24	rombowy (59)	${\displaystyle 222}$	${\displaystyle D_{2}}$	${\displaystyle P222,P222_{1},P2_{1}2_{1}2,P2_{1}2_{1}2_{1},C222_{1},C222,F222,I222,I2_{1}2_{1}2_{1}}$
25–46		${\displaystyle mm2}$	${\displaystyle C_{2v}}$	${\displaystyle Pmm2,Pmc2_{1},Pcc2,Pma2,Pca2_{1},Pnc2,Pmn2_{1},Pba2,Pna2_{1},Pnn2,}$ ${\displaystyle Cmm2,Cmc2_{1},Ccc2,Amm2,Aem2,Ama2,Aea2,Fmm2,Fdd2,Imm2,Iba2,Ima2}$
47–74		${\displaystyle mmm}$	${\displaystyle D_{2h}}$	${\displaystyle Pmmm,Pnnn,Pccm,Pban,Pmma,Pnna,}$ ${\displaystyle Pmna,Pcca,Pbam,Pccn,Pbcm,Pnnm,Pmmn,Pbcn,Pbca,Pnma,}$ ${\displaystyle Cmcm,Cmce,Cmmm,Cccm,Cmme,Ccce,Fmmm,Fddd,Immm,Ibam,Ibca,Imma}$
75–80	tetragonalny (68)	${\displaystyle 4}$	${\displaystyle C_{4}}$	${\displaystyle P4,P4_{1},P4_{2},P4_{3},I4,I4_{1}}$
81–82		${\displaystyle {\bar {4}}}$	${\displaystyle S_{4}}$	${\displaystyle P{\bar {4}},I{\bar {4}}}$
83–88		${\displaystyle 4/m}$	${\displaystyle C_{4h}}$	${\displaystyle P4/m,P4_{2}/m,P4/n,P4_{2}/n,I4/m,I4_{1}/a}$
89–98		${\displaystyle 422}$	${\displaystyle D_{4}}$	${\displaystyle P422,P42_{1}2,P4_{1}22,P4_{1}2_{1}2,P4_{2}22,P4_{2}2_{1}2,P4_{3}22,P4_{3}2_{1}2,I422,I4_{1}22}$
99–110		${\displaystyle 4mm}$	${\displaystyle C_{4v}}$	${\displaystyle P4mm,P4bm,P4_{2}cm,P4_{2}nm,P4cc,P4nc,P4_{2}mc,P4_{2}bc,I4mm,I4cm,I4_{1}md,I4_{1}cd}$
111–122		${\displaystyle {\bar {4}}2m}$	${\displaystyle D_{2d}}$	${\displaystyle P{\bar {4}}2m,P{\bar {4}}2c,P{\bar {4}}2_{1}m,P{\bar {4}}2_{1}c,P{\bar {4}}m2,P{\bar {4}}c2,P{\bar {4}}b2,P{\bar {4}}n2,I{\bar {4}}m2,I{\bar {4}}c2,I{\bar {4}}2m,I{\bar {4}}2d}$
123–142		${\displaystyle 4/mmm}$	${\displaystyle D_{4h}}$	${\displaystyle P4/mmm,P4/mcc,P4/nbm,P4/nnc,P4/mbm,P4/mnc,P4/nmm,P4/ncc,}$ ${\displaystyle P4_{2}/mmc,P4_{2}/mcm,P4_{2}/nbc,P4_{2}/nnm,P4_{2}/mbc,P4_{2}/mnm,P4_{2}/nmc,P4_{2}/ncm,}$ ${\displaystyle I4/mmm,I4/mcm,I4_{1}/amd,I4_{1}/acd}$
143–146	trygonalny (25)	${\displaystyle 3}$	${\displaystyle C_{3}}$	${\displaystyle P3,P3_{1},P3_{2},R3}$
147–148		${\displaystyle {\bar {3}}}$	${\displaystyle S_{6}}$	${\displaystyle P{\bar {3}},R{\bar {3}}}$
149–155		${\displaystyle 32}$	${\displaystyle D_{3}}$	${\displaystyle P312,P321,P3_{1}12,P3_{1}21,P3_{2}12,P3_{2}21,R32}$
156–161		${\displaystyle 3m}$	${\displaystyle C_{3v}}$	${\displaystyle P3m1,P31m,P3c1,P31c,R3m,R3c}$
162–167		${\displaystyle {\bar {3}}m}$	${\displaystyle D_{3d}}$	${\displaystyle P{\bar {3}}1m,P{\bar {3}}1c,P{\bar {3}}m1,P{\bar {3}}c1,R{\bar {3}}m,R{\bar {3}}c}$
168–173	heksagonalny (27)	${\displaystyle 6}$	${\displaystyle C_{6}}$	${\displaystyle P6,P6_{1},P6_{5},P6_{2},P6_{4},P6_{3}}$
174		${\displaystyle {\bar {6}}}$	${\displaystyle C_{3h}}$	${\displaystyle P{\bar {6}}}$
175–176		${\displaystyle 6/m}$	${\displaystyle C_{6h}}$	${\displaystyle P6/m,P6_{3}/m}$
177–182		${\displaystyle 622}$	${\displaystyle D_{6}}$	${\displaystyle P622,P6_{1}22,P6_{5}22,P6_{2}22,P6_{4}22,P6_{3}22}$
183–186		${\displaystyle 6mm}$	${\displaystyle C_{6v}}$	${\displaystyle P6mm,P6cc,P6_{3}cm,P6_{3}mc}$
187–190		${\displaystyle {\bar {6}}m2}$	${\displaystyle D_{3h}}$	${\displaystyle P{\bar {6}}m2,P{\bar {6}}c2,P{\bar {6}}2m,P{\bar {6}}2c}$
191–194		${\displaystyle 6/mmm}$	${\displaystyle D_{6h}}$	${\displaystyle P6/mmm,P6/mcc,P6_{3}/mcm,P6_{3}/mmc}$
195–199	regularny (36)	${\displaystyle 23}$	${\displaystyle T}$	${\displaystyle P23,F23,I23,P2_{1}3,I2_{1}3}$
200–206		${\displaystyle m{\bar {3}}}$	${\displaystyle T_{h}}$	${\displaystyle Pm{\bar {3}},Pn{\bar {3}},Fm{\bar {3}},Fd{\bar {3}},Im{\bar {3}},Pa{\bar {3}},Ia{\bar {3}}}$
207–214		${\displaystyle 432}$	${\displaystyle O}$	${\displaystyle P432,P4_{2}32,F432,F4_{1}32,I432,P4_{3}32,P4_{1}32,I4_{1}32}$
215–220		${\displaystyle {\bar {4}}3m}$	${\displaystyle T_{d}}$	${\displaystyle P{\bar {4}}3m,F{\bar {4}}3m,I{\bar {4}}3m,P{\bar {4}}3n,F{\bar {4}}3c,I{\bar {4}}3d}$
221–230		${\displaystyle m{\bar {3}}m}$	${\displaystyle O_{h}}$	${\displaystyle Pm{\bar {3}}m,Pn{\bar {3}}n,Pm{\bar {3}}n,Pn{\bar {3}}m,Fm{\bar {3}}m,Fm{\bar {3}}c,Fd{\bar {3}}m,Fd{\bar {3}}c,Im{\bar {3}}m,Ia{\bar {3}}d}$

Wprowadzenie przez IUCr pojęcia płaszczyzny poślizgu e spowodowało w 1996 roku zmianę symboli i rysunków niektórych grup przestrzennych. Zmiana dotyczyła 7 grup w układzie rombowym oraz pięciu dla układów tetragonalnego i regularnego. Rysunki wszystkich wymienionych grup zostały zmienione. Symbole grup zostały zmienione tylko dla 5 przypadków w układzie rombowym (np. Abm2 na Aem2)^[10].

Zobacz też

• Jewgraf Fiodorow
• Arthur Moritz Schoenflies
• Ludwig Bieberbach

Przypisy

1. grupy przestrzenne, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2022-03-12].
2. Hahn T.: International Tables for Crystallography, Volume A: Space Group Symmetry. T. A. Berlin, Nowy York: Springer-Verlag, 2002. ISBN 978-0-7923-6590-7. Brak numerów stron w książce
3. Bieberbach L. Über die Bewegungsgruppen der Euklidischen Räume (Zweite Abhandlung.) Die Gruppen mit einem endlichen Fundamentalbereich. „Mathematische Annalen”. 72 (3), s. 400–412, 1912. DOI: 10.1007/BF01456724.
4. Fedorov E.S. Symmetry of Regular Systems of Figures. „Zap. Mineral. Obch.”. 28 (2), s. 1–146, 1891.
5. Schönflies A.M. Theorie der Kristallstruktur. „Gebr. Bornträger”, 1891. Berlin.brak numeru strony
6. Barlow W. Über die geometrischen Eigenschaften starrer Strukturen und ihre Anwendung auf Kristalle. „Z. Kristallogr”. 23, s. 1–63, 1894.
7. Trzaska Durski Z., Trzaska Durska H.: Podstawy krystalografii. Warszawa: OW Politechniki Warszawskiej, 2003, s. 127–135. ISBN 83-7207-438-0.
8. Hall S.R. Space-Group Notation with an Explicit Origin. „Acta Cryst.”. A37, s. 517–525, 1981.
9. Conway J.H., Delgado F.O., Huson D.H., Thurston W.P. On three-dimensional space groups. „Beiträge zur Algebra und Geometrie. Contributions to Algebra and Geometry”. 42 (2), s. 475–507, 2001.
10. Trzaska Durski Z., Trzaska Durska H.: Podstawy krystalografii. Warszawa: OW Politechniki Warszawskiej, 2003, s. 166–169. ISBN 83-7207-438-0.

Linki zewnętrzne

• Międzynarodowa Unia Krystalograficzna (UICr) (ang.)
• Grupy punktowe i sieci Bravais’go (ang.)
• Wyszukiwarka grup przestrzennych (ang.)
• Spis grup przestrzennych. cst-www.nrl.navy.mil. [zarchiwizowane z tego adresu (2008-03-24)]. (ang.)
• Lista wszystkich grup przestrzennych (ang.)
• Spis grup przestrzennych w 3D (ang.)
• Równania symetrii w przestrzeni dwuwymiarowej (ang.)
• Równania symetrii w przestrzeni trójwymiarowej (ang.)

Kontrola autorytatywna (grupa dyskretna):

• LCCN: sh85125936
• GND: 4177070-5
• NDL: 00565653
• NKC: ph139049
• J9U: 987007563213205171

Encyklopedie internetowe:

• PWN: 3908324
• Britannica: science/space-group
• Catalana: 0186886