funkcja specjalna zdefiniowana jako odwrotna do pewnej funkcji elementarnej Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Funkcja WLamberta lub funkcja Omega – funkcjaspecjalna używana podczas rozwiązywania równań zawierających niewiadomą zarówno w podstawie, jak i wykładniku potęgi. Określona jest jako funkcja odwrotna do gdzie należy do zbioru liczb zespolonych. Oznacza się ją symbolem Zatem dla każdej liczby zespolonej zachodzi:
Ponieważ funkcja nie jest iniekcją, zatem musi być odwzorowaniem wielowartościowym. Tworzy się zatem rodzinę funkcji gdzie oznacza numer gałęzi. Dla przyjmuje się gałąź opisaną poniżej, rozszerzoną na wszystkie liczby zespolone. Ze wzrostem rośnie też część urojona funkcji
Jeśli założymy, że oraz mają być rzeczywiste, wtedy odwzorowanie istnieje jedynie dla a na odcinku jest dwuwartościowe. Jeśli dodatkowo założymy, że otrzymamy funkcję Alternatywna gałąź oznaczana to funkcja malejąca od (dla ) do (dla ). Obie te gałęzie przedstawione są na wykresie obok.
Różniczkując równanie obustronnie względem otrzymamy
Funkcja znajduje zastosowanie w kombinatoryce i przy rozwiązywaniu trudnych równań różniczkowych. Wiele równań zawierających niewiadomą w potędze może być rozwiązanych za pomocą tej funkcji. Najczęściej problem polega wtedy na sprowadzeniu równania do formy przez co automatycznie otrzymuje się rozwiązanie:
Przykład 1
Przykład 2
Jeśli wartość jest skończona, można ją obliczyć w następujący sposób: