Multifunkcja

Multifunkcja lub funkcja wielowartościowa – uogólnienie pojęcia funkcji poprzez dopuszczenie przyporządkowania każdemu elementowi dziedziny więcej niż jednego elementu przeciwdziedziny. Z drugiej strony, pojęcie to definiuje się jako szczególny przypadek pewnego rodzaju funkcji.

Rysunek przedstawia odwzorowanie wielowartościowe – elementowi 3 przyporządkowane są dwa elementy przeciwdziedziny.

Definicja

Niech ${\displaystyle X}$ i ${\displaystyle Y}$ będą niepustymi zbiorami. Multifunkcją ${\displaystyle f}$ między zbiorami ${\displaystyle X}$ i ${\displaystyle Y}$ nazywa się przyporządkowanie każdemu ${\displaystyle x\in X}$ niepustego zbioru ${\displaystyle fx\subseteq Y.}$ Jeśli ${\displaystyle f}$ jest multifunkcją między ${\displaystyle X}$ i ${\displaystyle Y,}$ to oznacza się to czasami symbolem

${\displaystyle f\colon X\rightsquigarrow Y.}$

Dla multifunkcji definiuje się, analogicznie jak dla funkcji, pojęcia obrazu, wykresu, mutlifunkcji odwrotnej czy złożenia. Traktując multifunkcję ${\displaystyle f}$ jako funkcję ${\displaystyle f\colon X\to {\mathcal {P}}(Y)}$ pojęcia te nie pokrywają się ze swoimi klasycznymi odpowiednikami.

• Obrazem zbioru ${\displaystyle A\subseteq X}$ poprzez multifunkcję ${\displaystyle f}$ nazywa się zbiór

${\displaystyle f(A)=\bigcup _{x\in A}fx.}$

• Wykresem multifunkcji ${\displaystyle f}$ nazywamy zbiór

${\displaystyle {\text{Graf}}(f)=\{(x,y)\in X\times Y\colon \,y\in fx\}.}$

• Multifunkcją odwrotną do multifunkcji ${\displaystyle f}$ nazywamy multifunkcję ${\displaystyle f^{-1}\colon f(X)\rightsquigarrow X}$ taką, że

${\displaystyle f^{-1}y=\{x\in X\colon \,y\in fx\}.}$

• Jeśli ${\displaystyle Z}$ jest niepustym zbiorem oraz ${\displaystyle f\colon X\rightsquigarrow Y}$ i ${\displaystyle g\colon Y\rightsquigarrow Z}$ są multifunkcjami, to ich złożeniem nazywamy multifunkcję ${\displaystyle g\circ f\colon X\rightsquigarrow Z}$ daną wzorem

${\displaystyle (g\circ f)x=\bigcup _{y\in fx}gy.}$

Ponadto dla multifunkcji ${\displaystyle f\colon X\rightsquigarrow Y}$ definiuje się (dla ${\displaystyle B\subseteq Y}$):

• ${\displaystyle f^{-}(B)=\{x\in X\colon \,fx\cap B\neq \varnothing \},}$
• ${\displaystyle f^{+}(B)=\{x\in X\colon \,fx\subseteq B\}.}$

m-produkt

Pojęcie m-produktu rodziny zbiorów niepustych niejako „naśladuje” pojęcie produktu rodziny zbiorów.

Niech ${\displaystyle \{Y_{t}\colon t\in T\}}$ będzie rodziną zbiorów niepustych. m-produktem ${\displaystyle P\{Y_{t}\colon t\in T\}}$ tej rodziny nazywamy rodzinę wszystkich multifunkcji

${\displaystyle f\colon T\rightsquigarrow \bigcup _{t\in T}Y_{t}.}$

Jeśli ${\displaystyle Y_{t}=Y}$ dla każdego ${\displaystyle t\in T,}$ to m-produkt ${\displaystyle P\{Y_{t}\colon t\in T\}}$ oznaczamy symbolem ${\displaystyle Y^{mT}.}$ Jeśli ${\displaystyle t\in T}$ to multifunkcję ${\displaystyle {\text{pr}}_{t}\colon P\{Y_{t}\colon t\in T\}\rightsquigarrow Y_{t}}$ daną wzorem

${\displaystyle {\text{pr}}_{t}f=ft}$

nazywamy rzutowaniem na ${\displaystyle Y_{t}.}$

Topologia w m-produkcie

Jeśli ${\displaystyle (Y_{t},\tau _{t}),t\in T}$ są przestrzeniami topologicznymi, to w m-produkcie ${\displaystyle P\{Y_{t}\colon t\in T\}}$ można wprowadzić topologię poprzez analogię do topologii Tichonowa w produkcie kartezjańskim przestrzeni topologicznych. Topologię tę definiuje się poprzez zadanie podbazy postaci

${\displaystyle \{{\text{pr}}_{t}^{-}(U_{t}),{\text{pr}}_{t}^{+}(U_{t})\colon t\in T,U_{t}\in \tau _{t}\}.}$

Bibliografia

• Geoffrey Fox, Pedro Morales, Non-Hausdorff multifunction generalization of the Kelley-Morse Ascoli theorem, Pacific J. Math. vol. 64, nr 1 (1976), s. 137–143.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Multivalued Function, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2023-08-29].
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Multiple-Valued Function, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2023-08-29].
• Multivalent function (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-08-29].