Całkowanie przez podstawienie – jedna z metod obliczania zamkniętych form całek.
- Obliczając całkę zastosować można podstawienie tzn. więc:
- Przykład zastosowania metody całkowania przez podstawienie z pominięciem pomocniczej zmiennej:
Całkowanie funkcji trygonometrycznych
Całkując funkcje wymierne funkcji trygonometrycznych (czyli funkcje postaci ) stosuje się podstawienia pozwalające na wyeliminowanie ich z obliczeń:
- W ogólności stosować można zawsze tzw. podstawienie uniwersalne Jeżeli jednak funkcja spełnia jeden z podanych niżej warunków, wygodniej jest stosować podstawienie z nim związane.
- Jeśli funkcja jest nieparzysta ze względu na sinus stosuje się podstawienie
- Jeśli funkcja jest nieparzysta ze względu na cosinus stosuje się podstawienie
- Jeśli funkcja jest parzysta ze względu na sinus i cosinus równocześnie stosuje się podstawienie
Za pomocą jedynki trygonometrycznej oraz innych tożsamości trygonometrycznych można wyprowadzić czynniki zastępujące funkcje trygonometryczne, w szczególności w przypadku podstawienia uniwersalnego:
zachodzi:
W przypadku podstawienia mamy dla funkcji postaci
-
Przykłady
Przykład zastosowania podstawienia uniwersalnego:
Podstawienia Eulera
Podstawienia Eulera stosuje się przy obliczaniu całek funkcji postaci gdzie R jest funkcją wymierną.
Inne podstawienia
- Całki typu obliczamy przez podstawienie Stąd:
- Całki typu gdzie p1, p2, ..., pn są liczbami wymiernymi, sprowadzamy do całki funkcji wymiernej podstawiając gdzie k jest najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb p1, p2, ..., pn.