De Broglies bølgelengde

De Broglies bølgelengde er i kvantefysikken en bølgelengde som kan tilordnes alle massive partikler som beveger seg. Enhver slik partikkel er derfor knyttet til en tilsvarende materiebølge. Denne fundamentale egenskapen danner grunnlaget for bølge-partikkel-dualiteten som er det sentrale innholdet av både kvantemekanikken og kvantefeltteorien.

Bilde av interferens mellom elektroner som går gjennom en krystall.

For en partikkel med impuls p er de Broglies bølgelengde

${\displaystyle \lambda ={h \over p}}$

hvor h er Plancks konstant. Formelen er også gyldig når partikkelen beveger seg med relativistiske hastigheter som nærmer seg lyshastigheten.

Dette uttrykket for bølgelengden ble utledet av den franske fysiker Louis de Broglie i 1924 basert på lovmessigheter som tidligere var funnet av Max Planck og Albert Einstein. Bare noen få år senere ble denne bølgeegenskapen ved partikler eksperimentelt påvist ved diffraksjon av elektroner som ble sendt mot krystaller. Nøyaktige målinger som også omfattet andre partikler, bekreftet innholdet i den matematiske formelen til de Broglie.

En bølgeligning for slike materiebølger ble utledet av den østerrikske fysiker Erwin Schrödinger i 1926. Den gjelder for ikke-relativistiske partikler. For relativistiske partikler med spinn S = 1/2 gjelder Dirac-ligningen, mens relativistiske partikler uten spinn er beskrevet ved Klein-Gordon-ligningen. Denne ble også først funnet av Schrödinger, men forkastet da den ikke syntes å stemme med egenskapene til hydrogenatomet.

Opprinnelig utledning

Allerede i 1905 hadde Albert Einstein foreslått at energien i en lysbølge med frekvens ν er konsentrert i små kvant med energi E = hν hvor h er Plancks konstant. Dette forklarte egenskaper ved den fotoelektriske effekt, og han ble for dette belønnet med Nobelprisen i fysikk i 1921. Da var det blitt klart at disse kvantene måtte betraktes som vanlige partikler da Einstein hadde vist at de også har en veldefinert impuls p = h/λ hvor λ = c/ν er bølgelengden til lyset. Disse lyspartiklene kalles i dag for fotoner.^[1]

I sin opprinnelige utledning betraktet de Broglie en partikkel med masse m i sitt hvilesystem. Som følge av Einsteins masseenergilov har partikkelen derfor energien E = mc². Ved å anta at hva som gjelder for et foton også må gjelde for en partikkel, kunne han dermed tilordne denne partikkelen en frekvens som generelt må være ν = E/h og representerer en oscillasjon i partikkelen. Når den så beveger seg, viste han ved bruk av den spesielle relativitetsteorien at den blir fulgt av en bølge i samme retning og med bølgelengde λ = h/p. Her er p impulsen til partikkelen som generelt kan skrives som p = γmv når den har hastighet v og γ = 1/√(1 - v²/c²) er Lorentz-faktoren. De Broglies bølgelengde er derfor

${\displaystyle \lambda ={h \over mv}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$

Denne materiebølgen har en fasehastighet u = λν  = E/p der energien nå er E = γmc², for partikkelen i bevegelse. Fasehastighten til bølgen er derfor i alminnelighet forskjellig fra partikkelens fysiske hastighet v og er gitt som u = c²/v. Den er alltid større enn lyshastigheten. Kun for fotonet med v = c blir fasehastigheten den samme som partikkelhastigheten.^[2].

Samme fasehastighet ble funnet av Hamilton i hans bølgebeskrivelse av klassisk mekanikk. Selv om hans utgangspunkt var ganske annerledes enn de Broglies, skulle det vise seg at hans betraktninger likevel skulle spille en viktig rolle i den videre utvikling av kvantemekanikken.

Bølgevektor

Materiebølgen for en partikkel med impuls p har en bølgelengde λ = h/p og derfor et bølgetall k = 2π /λ. Det kan skrives som k = p/ħ  der ħ = h/2π  er den reduserte Planck-konstanten. Da bølgen beveger seg i samme retning som impulsvektoren p, er den tilsvarende bølgevektoren gitt som k = p/ħ. Vinkelfrekvensen ω = 2π ν  til bølgen kan på samme måte skrives som ω = E/ħ  da ν = E/h.

I den spesielle relativitetsteorien utgjør energien E og impulsen p til en fri partikkel en firevektor som blir

${\displaystyle p^{\mu }=(E/c,\mathbf {p} )=\hbar (\omega /c,\mathbf {k} )=\hbar k^{\mu }}$

hvor bølgefirevektoren k^μ  karakteriserer dens materiebølge. Denne kovariant sammenhengen mellom impuls og bølgetall gjelder også for et foton som har null masse. En plan bølge på formen

${\displaystyle \Psi (\mathbf {x} ,t)=e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} -\omega t)}=e^{i(\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} -Et)/\hbar }}$

beskriver derfor likså godt elektromagnetiske bølger som materiebølger. Her kan nå fasen til bølgen skrives på kovariant form som k^μx_μ  der firevektoren x^μ = (ct, x) og man benytter Einsteins summekonvensjon og summerer over like indekser.

Gruppehastighet

Louis de Broglie foreslo i 1924 at en bølgepakke kan beskrive en materiell partikkel.

Materiebølgene som de Broglie foreslo, skulle være like fysiske som elektromagnetiske bølger for fotonet. Men når bølgen har en gitt bølgelengde tilsvarende en gitt impuls for partikkelen, strekker den seg ut over hele rommet, mens partikkelen har en bestemt posisjon. Denne konflikten omtales som en bølge–partikkel-dualitet.

For å forstå hvordan en lokalisert partikkel kan beskrives ved hjelp av bølgeformalismen, forslo de Broglie at den skulle tilsvare en bølgepakke av plane bølger. En slik pakke beveger seg med en gruppehastighet v_g = dω/dk  som nå kan skrives som v_g = dE/dp.

For en relativistisk partikkel er sammenhengen mellom energi og impuls i alminnelighet

${\displaystyle E^{2}=p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}$

Derfor er EdE = c²pdp slik at gruppehastigheten blir v_g = c²p/E. Nå kan man i alminnelighet også skrive energien som E = γmc² og impulsen som p = γmv slik at gruppehastigheten blir v_g = v og er lik den fysiske hastigheten.

Uttrykket c²p/E  for gruppehastigheten gjelder også for en ikke-relativistisk partikkel som har hastighet v << c  slik at dens energi blir

${\displaystyle E=mc^{2}+{p^{2} \over 2m}}$

Dropper man her hvileenergien mc², er fortsatt gruppehastigheten v_g = dE/dp = p/m = v. Men fasehastigheten til bølgen blir da u = E/p = p/2m = v/2 og er derfor mindre enn lyshastigheten. Vanligvis har et konstant tillegg til energien ingen konsekvens i ikke-relativistisk fysikk. Men at det ikke gjelder for disse materiebølgene, er en annen indikasjon på at de ikke kan ha en virkelig eksistens.^[3]

Eksperimentell bekreftelse

Allerede i sine første arbeid i 1923 diskuterte de Broglie muligheten for at bølgeegenskapene til materielle partikler kunne påvises eksperimentelt ved interferens eller diffraksjon som for mer vanlige bølger. Slike effekter avhenger sterkt av bølgelengden som blir spesielt stor for lette partikler. Et elektron med masse m  som blir akselerert ved å gjennomløpe en elektrisk potensialforskjell V, får en impuls gitt ved eV = p²/2m  der -e er den elektriske ladningen til elektronet. Dermed får den tilsvarende materiebølgen bølgelengden

${\displaystyle \lambda ={h \over {\sqrt {2meV}}}={1.23 \over {\sqrt {V}}}{\text{nm}}}$

når spenningsforskjellen V måles i Volt. For eksempel, når V = 100 V, blir bølgelengden 0.123 nm = 1.23 Å. Dette er av samme størrelsesorden som avstanden mellom de regulært plasserte atomene i en krystall. De kan derfor benyttes til å påvise bølgeegenskapene til en elektronstråle på samme måte som for spredning av røntgenstråling.^[4]

Bruk av elektronstråler i mikroskop gjør det mulig å se mindre detaljer i et mikroskop. Mens et elektron med en kinetisk energi på 100 eV, kan skille to punkt med en avstand 0.123 nm, vil bruk av elektromagnetisk stråling med fotoner av samme energi kun gi en oppløsning på 12.4 nm. Det er derfor elektronmikroskop gjør det mulig å studere de aller minste egenskaper i forskjellige materialer.

Den aller første påvisning av bølgeegenskapene til elektroner ble gjort av de amerikanske fysikerne Clinton Davisson og Lester Germer i perioden 1925-1927. Uavhengig av dem ble en lignende undersøkelse utført av den engelske fysiker George Thomson omtrent på samme tid. Han var sønn av J.J. Thomson som oppdaget elektronet i 1897. De Broglie kunne presentere deres verifikasjon av den teoretiske bølgelengden allerede på Solvaykonferansen i 1927. Han fikk Nobelprisen i fysikk i 1929 for sin teori om materiebølger, mens Davisson og Thomson delte Nobel-prisen i fysikk i 1937 for deres eksperimentelle påvisning.^[1]

I årene som fulgte ble avbøyning av tyngre partikler som nøytroner og forskjellige atomer observert og funnet å stemme med de Broglies forutsigelser.^[2]. Bølgeegenskapene ser ut til å være tilstede for alle partikler, uavhengig av deres masse. I nyere tid har man til og med påvist dette hos buckminsterfullerenet C₆₀ som består av seksti karbonatom. Det ble gitt en hastighet på om lag 120 m/s som tilsvarer en bølgelengde på 4.6×10^-3 nm. Partiklene ble sent mot et gitter laget av stående lysbølger med en gitteravstand på 257 nm. En avbøyning på 18 μrad ble observert i full overensstemmelse med de Broglies formel.^[5]

Bølgeligninger

Idéene til de Broglie vakte stor interesse. Ved en forelesning i Zürich nevnte den nederlandske fysiker Debye at når det finnes en bølgelengde, må det også finnes en bølgeligning. Erwin Schrödinger hørte dette og gikk i gang med å finne en slik ligning.^[6] Han tok utgangspunkt i Hamiltons formulering av klassisk mekanikk som han mente kunne være en slags approksimasjon til en underliggende bølgemekanikk.

Schrödinger-ligningen

Bølgeligningen for en bølge med amplitude Ψ(x,t) og fasehastighet u er

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}^{2}\Psi -{1 \over u^{2}}\!\left({\partial \Psi \over \partial t}\right)^{2}=0}$

En materiebølge for en partikkel med energi E og impuls p har en frekvens ω = E/ħ. Bølgeamplituden vil derfor variere med tiden som

${\displaystyle \Psi (\mathbf {x} ,t)=\psi (\mathbf {x} )e^{-i\omega t}}$

når man skriver den på kompleks form hvor i = √(-1) er den imaginær enhet og ψ(x) er den «stasjonære bølgefunksjonen». Da fasehastigheten er u = E/p, går bølgeligningen over i differensialligningen ∇²ψ + (p/ħ)²ψ = 0. Den har samme form som Helmholtz-ligningen.

For en ikke-relativistisk partikkel som beveger seg i et statisk potensial V(x), er impulsen gitt ved p² = 2m(E - V) slik at ligningen kan omskrives på formen

${\displaystyle {-\hbar ^{2} \over 2m}{\boldsymbol {\nabla }}^{2}\psi +V(\mathbf {x} )\psi =E\psi }$

Dette er bølgeligningen til Schrödinger han lanserte i 1926. Kort tid etterpå viste han at den ga de riktige energiene for energinivåene i hydrogenatomet.^[7]

Klein-Gordon-ligningen

For en relativistisk partikkel følger impulsen fra p² = (E - V)²/c² - m²c². Innsatt i ligningen for den stasjonære bølgefunksjonen tar den nå formen

${\displaystyle \hbar ^{2}{\boldsymbol {\nabla }}^{2}\psi +{\Big (}{E-V \over c}{\Big )}^{2}\psi =m^{2}c^{2}\psi }$

Denne ligningen hadde også Schrödinger funnet, men forkastet den da den ikke ga riktige verdier for de relativistiske energitilstandene i H-atomet. Noen år senere ble det klart at for å beregne disse energiene korrekt, må man også inkludere effektene av spinnet til elektronet i atomet. Den beregningen ble først gjennomført noen år senere ved innføringen av Dirac-ligningen.^[1]

I det enklere tilfellet med en fri partikkel er potensialet V = 0. Da energien kan finnes ved å la operatoren iħ ∂/∂t virke på den tidsavhengige bølgefunksjonen, kan den relativistiske ligningen skrives som

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}^{2}\Psi -{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}\Psi \over \partial t^{2}}={\Big (}{mc \over \hbar }{\Big )}^{2}\Psi }$

Den ble etterhvert kalt for Klein-Gordon-ligningen etter to av de fysikerne som fant den kort tid etter at Schrödinger hadde forkastet den. På høyre side inngår lengden λ_C = ħ/mc som er den reduserte Compton-bølgelengden for partikkelen. Ved bruk av kovariant notasjon, kan man skrive denne bølgeligningen som (∂^μ∂_μ + (mc/ħ)²)Ψ = 0  hvor den kovariante deriverte er ∂_μ = ∂/∂x^μ = (∂/∂ct, ∇ ). På denne kompakte formen er det tydelig at ligningen er invariant under Lorentz-transformasjoner som alle relativistiske bølgeligninger må være.^[8]

Interpretasjon av bølgefunksjonen

Materiebølgene som de Broglie hadde forseslått og beskrevet ved bølgefunksjoner Ψ(x,t) som følger fra Schrödingers ligning, var opprinnelig ment å være fysiske bølger som skulle erstatte det gamle bildet av partikler som små, harde kuler. Schrödinger hadde også den første tiden et slikt håp. Hver partikkel skulle kunne beskrives med sin bølge. Kvadratet av bølgefunksjonen skulle være et uttrykk for tettheten av energi/masse i et punkt i rommet på samme måte som kvadratet av det elektriske feltet gir den elektriske energitettheten i rommet.

Men allerede på slutten av året 1926 var det klart at dette klassiske bølgebildet ikke kunne være riktig. Max Born foreslo at den komplekse bølgefunksjonen er en sannsynlighetsamplitude hvor det reelle produktet Ψ^*Ψ(x,t) gir sannsynligheten for å finne partikkelen i punktet x ved tiden t. Med en slik interpretasjon har den ikke noen veldefinert posisjon før denne blir målt. Dette er direkte i motstrid med det klassiske bildet av en partikkel.

På samme måte finnes det tilsvarende en sannsynlighetsamplitude Ψ(x₁, x₂, x₃, ...,t) som beskriver en samling av flere partikler. Denne ene funksjonen har i alminnelighet lite å gjøre med en vanlig bølgebeskrivelse i vårt 3-dimensjonale rom. Den oppfyller den generelle Schrödinger-ligningen og tar komplekse verdier basert på konfigurasjoner i et multidimensjonalt «konfigurasjonsrom». Det er med denne København-interpretasjonen at moderne kvantemekanikk i dag blir forstått av de fleste.^[9]

En alternativ interpretasjon ble lansert av de Broglie allerede ved Solvay-konferansen i 1927 og tatt opp igjen av David Bohm i 1952.^[10] Denne gir en mer «realistisk» beskrivelse av kvantefenomen ved at hver partikkel følger en bestemt bane x(t) som i det klassiske bildet. Den er styrt av bølgefunksjonen som dermed gir en bevegelse som er forskjellig fra den som følger fra Newtons lover. Bølgefunksjonen er derfor en pilotbølge som reflekterer den eksperimentelle usikkerheten som ligger i å bestemme posisjonen til partikkelen. Selv om denne interpretasjonen fortsatt har noen tilhengere, har den fått lite gjennomslag.

Det som i dag ligger tettest opp til den opprinnelige beskrivelsen av partikler som materiebølger i moderne kvantemekanikk, er kvantefeltteori hvor partiklene opptrer som kvant av et klassisk felt Φ(x,t). Dette oppfyller sin egen feltligning som er en bølgeligning. Maxwells ligninger er de klassiske feltligningene for fotonet, Dirac-ligningen er feltligningen for elektronet og fermioner med spinn S = 1/2, mens Klein-Gordon-ligningen beskriver Higgs-partikkelen og andre partikler uten spinn. De tilsvarende feltfunksjonene kan nå betraktes som en slags materiebølger. Men til forskjell fra de opprinnelige idéene til de Broglie og Schrödinger, så er det nå kun ett felt for alle partikler av samme sort. For eksempel beskriver Dirac-feltet alle elektroner og deres antipartikler (positronene) i hele Universet. Det er derfor alle elektroner er like, uansett hvor de finnes.^[9]

Termisk bølgelengde

Fra klassisk, kinetisk teori vet man at i en samling identiske partikler med masse m i termisk likevekt ved absolutt temperatur T  har hver partikkel en midlere energi av størrelsesorden k_BT  hvor k_B  er Boltzmanns konstant. Det tilsvarer at partikkelen har en typisk impuls gitt ved p²/2m = k_BT.

Etterhvert som temperaturen blir lavere, vil de Broglies bølgelengde λ = h/p  der p = √(2mk_BT)  bli større og større. Det betyr at bølgefunksjonene for partiklene ved tilstrekkelig lave temperaturer vil få en så stor utstrekning at partiklene ikke lenger kan skilles fra hverandre. Man må da bruke kvantestatistikk for å beskrive deres egenskaper. Hvis det dreier seg om He⁴-atomer som er bosoner, ville det være Bose-Einstein-statistikk. De Broglies bølgelengde vil da opptre automatisk på formen

${\displaystyle \Lambda ={h \over {\sqrt {2\pi mk_{B}T}}}}$

Bortsett fra en numerisk faktor som er litt forskjellig, er dette det samme uttrykket som allerede ble funnet. Det er den termiske bølgelengden Λ  for partiklene.^[11] For He⁴-atomer ved romtemperatur er den om lag 1Å som er av samme størrelsesorden som atomets utstrekning og derfor ikke av betydning. Men ved mye lavere temperaturer nær det absolutte nullpunktet blir denne bølgeegenskapen ved partiklene avgjørende og resulterer i Bose-Einstein-kondensasjon.

Referanser

1. A. Pais, Inward Bound: Of Matter and Forces in the Physical World, Clarendon Press, Oxford (1986). ISBN 0-19-851971-0.
2. M. Born, Atomic Physics, Blackie & Son, Glasgow (1935).
3. D. Bohm, Quantum Theory, Dover Books, New York (1989). ISBN 0-486-65969-0.
4. R.A. Serway, C.J. Moses and C.A. Moyer, Modern Physics, Saunders Golden Sunburst Series, Philadelphia (1989). ISBN 0-03-029797-4.
5. O. Nairz, B. Brezger, M. Arndt and A. Zeilinger, Diffraction of Complex Molecules by Structures Made of Light, Phys. Rev. Lett. 87, 160401 (2001).
6. F. Bloch, Heisenberg and the early days of quantum mechanics, Physics Today 29(12), 23 - 27 (1976).
7. E. Hylleraas, Matematisk og Teoretisk Fysikk, Vol. IV: Atomteori, Grøndahl & Søns Forlag, Oslo (1952).
8. J.D. Bjorken and S.D. Drell, Relativistic Quantum Mechanics, McGraw-Hill, New York (1964). ISBN 0-07-005493-2.
9. D. J. Griffiths, Quantum Mechanics, Pearson Education International, Essex (2005). ISBN 1-292-02408-9.
10. L. Smolin, Einstein's Unfinished Revolution, Penguin Press, New York (2019). ISBN 978-1-5942-0619-1.
11. K. Huang, Statistical Mechanics, John Wiley & Sons, New York (1987). ISBN 0-471-85913-3.

Eksterne lenker

• L. de Broglie, Radiations - Ondes et quanta, Comptes Rendus 177, 507 - 510 (1923).
• L. de Broglie, La Nouvelle Dynamique des Quanta, in Électrons et Photons: Rapports et Discussions du Cinquième Conseil de Physique, pp. 105 - 141, Gauthier-Villars, Paris (1928). Presentert ved Solvaykonferansen 1927.
• E. Schrödinger, An undulatory theory of the mechanics of atoms and molecules, Physical Review 28, 1049–1070 (1926).