Kumulativ fordelingsfunksjon

Den kumulative fordelingsfunksjonen beskriver en sannsynlighetsfordeling for en stokastisk variabel innenfor matematisk statistikk. For en stokastisk variabel X, med sannsynlighetsfunksjonen P(x), defineres den kumulative fordelingsfunksjonen F_X(x) som:

${\displaystyle F_{X}(x)=P(X\leq x)}$

Kumulativ fordelingsfunksjon for eksponentialfordelingen

Kumulativ fordelingsfunksjon for normalfordelingen

Den kumulative fordelingsfunksjonen er monotont stigende og har, blant annet, alltid følgende egenskaper:

• ${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }F(x)=0,}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }F(x)=1,}$

• ${\displaystyle 0\leq F(x)\leq 1.}$

For en diskret stokastisk variabel som kan anta verdiene x₁, x₂... er F diskontinuerlig i punktene x_i og har konstant verdi mellom dem, det vil si at den har et trappetrinnlignende utseende.

For en kontinuerlig stokastisk variabel er F lik

${\displaystyle F(x)=\int _{-\infty }^{x}f(t)dt}$

der f(t) er tetthetsfunksjonen (eller frekvensfunksjonen) for variabelens fordeling.

Sannsynligheten for at en stokastisk variabel skal anta verdier større enn a og mindre eller lik b kan finnes ved:

${\displaystyle P(a<X\leq b)=F(b)-F(a)}$

Tabell over verdiene hos den kumulative normalfordelingsfunksjonen ligger her. Andre fordelinger har andre tabeller.

Egenskaper

Hvis X er en diskret stokastisk variabel, med verdier X₁, X₂, ... med punktsannsynlighet p_i=p(x_i)

${\displaystyle F(x)=\operatorname {P} (X\leq x)=\sum _{x_{i}\leq x}\operatorname {P} (X=x_{i})=\sum _{x_{i}\leq x}p(x_{i})}$

Hvis X er en kontinuerlig stokastisk variabel med tetthetsfunksjon f(x), er kumulative fordelingen gitt ved:

${\displaystyle F(b)-F(a)=\operatorname {P} (a\leq X\leq b)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx}$

Da er det viktig å ha i bakhodet at en kontinuelig sannsynelighetstetthet f(x) har en kumulativ fordeling:

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)dx=1}$