Analysens fundamentalteorem

Analysens fundamentalteorem sier at de to sentrale operasjonene i analysen, derivasjon og integrasjon, er hverandres inverser.^[1] Dette betyr at om en kontinuerlig funksjon først integreres og deretter deriveres, ender man opp med den opprinnelige funksjonen. En viktig konsekvens av dette teoremet er at man kan løse integrasjonsproblemer ved hjelp av enkle formler.

Formell definisjon

Definisjon del 1

La ${\textstyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$ være en kontinuerlig funksjon. La ${\textstyle F(x)}$ være funksjonen definert for ${\textstyle x\in [a,b]}$ ved$${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\mathop {dt} .}$$Da er ${\textstyle F'(x)=f(x),\forall x\in [a,b].}$

Definisjon del 2^[1]

La ${\textstyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$ være en kontinuerlig funksjon. La ${\textstyle F}$ være en funksjon slik at ${\textstyle F'(x)=f(x),\forall x\in [a,b]}$, da er$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).}$$

Bevis

Bevis for den første delen av analysens fundamentalteorem

$${\displaystyle F(x):=\int _{a}^{x}f(t)\mathop {dt} .}$$Man bruker middelverdisetningen for integrasjon:$${\displaystyle F'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {F(x+h)-F(x)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}\int _{x}^{x+h}f(t)\mathop {dt} =\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}f({\widehat {x}})h=f(x),\quad {\widehat {x}}\in [x,x+h].\qquad \Box }$$