Schrödinger-ligning
From Wikipedia, the free encyclopedia
Schrödinger-ligningen beskriver hvordan et kvantemekanisk system forandrer seg med tiden. Den ble først stilt opp i 1926 av den østerrikske fysikeren Erwin Schrödinger basert på betraktninger fra klassisk mekanikk. Bakgrunnen for dette var forslaget til den franske fysiker Louis de Broglie to år tidligere om at partikler kunne tilordnes bølgeegenskaper. Ligningen var derfor en konkret realisasjon av denne idéen og beskriver det som av denne grunn blir kalt materiebølger. Ligningens betydning oppsto da Schrödinger kunne vise at den ga riktige verdier for spektrumet til hydrogenatomet. Den viste seg snart å være ekvivalent med matrisemekanikken som Werner Heisenberg hadde utviklet året før.
I sitt opprinnelig arbeid fokuserte Schrödinger på bølgeligningen for én ikke-relativistisk partikkel. Det ble raskt klart at man kan også stille opp en Schrödinger-ligning for mange partikler som vekselvirker i atomer og molekyler. Spesielt etter arbeidene til Paul Dirac ble det klart at formen på den opprinnelige ligningen er generelt gyldig for alle kvantemekaniske systemer, også for relativistiske partikler og kvantefelt. Men selv om formen alltid er den samme, er inneholdet av ligningen vidt forskjellig og avhengig av hva den beskriver. Generelt kan ligningen uttrykkes ved en Hamilton-operator som bestemmer hvordan systemet man betrakter, utvikler seg med tiden. Schrödinger-ligningen kan da alltid skrives som
hvor Ψ er en generalisert bølgefunksjon eller «tilstandsvektor» avhengig av de variable som opptrer i Hamilton-operatoren. Her inngår den reduserte Planck-konstanten ħ = h/2π og den imaginære enheten i = √-1.
Bølgefunksjonen Ψ er i alminnelighet et komplekst tall. Da Max Born viste at det reelle produktet Ψ*Ψ er sannsynligeten for å finne systemet i denne tilstanden ved tiden t, omtales den også som en «sannsynlighetsamplitude».
For én ikke-relativistisk partikkel med masse m som beveger seg i et potensial V = V(x,t), er bølgefunksjonen gitt som en løsning av Schrödinger-ligningen
Den er en lineær, partiell differensialligning som i motsetning til vanlige bølgeligninger er av første orden i tiden. På høyre side av ligningen inngår Hamilton-operatoren for dette forholdsvis enkle systemet.