Dele en linje i to deler slik at den minste delen forholder seg til den største som denne til hele linjen. From Wikipedia, the free encyclopedia
Det gyldne snitt (riksmål[1]) eller det gylne snitt (bokmål og nynorsk) vil si deling av en linje eller en flate i to deler slik at den minste delen forholder seg til den største som denne til hele linjen eller flaten.
Uttrykt som φ (phi) tilsvarer dette et irrasjonalt tall med verdi
Man kan finne dette delingsforholdet igjen mange steder i naturen og spesielt på menneskekroppen. Forholdet mellom lengden fra skulderen til fingertuppene og lengden fra albuen til fingertuppene, knokene på hånda og lengden på bena i forhold til lengden fra kneet til tærne er noen eksempler. Det er også et viktig visuelt virkemiddel innen kunsten. Det gyldne snitt var kjent blant grekerne. Det ble mye brukt i renessansen, særlig innen arkitektur. Det gyldne rektangel eller rektangler med tilnærmet de samme proporsjoner opptrer også i menneskeskapte ting i vårt dagligliv, som i formen på bankkort og fyrstikkesker.
Det gyldne snitt bygger på en harmonisk deling av et linjestykke. Snittet deler linjestykket slik at forholdet mellom den lengste og den korteste delen er like stort som forholdet mellom hele linjestykket og den lengste delen av det.
Matematisk kan dette uttrykkes slik: Hvis linjestykket AB er delt i et punkt S slik at forholdet mellom AB og AS er lik forholdet mellom AS og BS sies S å dele AB i det gyldne snitt
Av definisjonen:
Den høyre ligningen viser at , som kan bli satt inn i den venstre halvdel, som da gir:
Stryke ut og multiplisere begge sider med og ordne ligningen leder til:
Det kan enkelt verifiseres at den eneste positive løsningen til denne annengradsligningen er
Det motsatte forhold er kjent som det konjugerte gyldne snitt og man bruker stor for å angi dette:
Alternativt kan uttrykkes som:
Dette illustrer den unike egenskapen (blant positive tall) med det gyldne snitt at:
De to løsningene er innbyrdes inverse og har de samme desimalene.
Den italienske matematikeren Leonardo Fibonacci fra Pisa er mest kjent for å ha «oppdaget» den kjente følgen av det som i dag kalles fibonaccitallene. Han beskrev disse tallene i sin første bok, Liber abbaci fra 1202. Følgen dannes ved å begynne med tallene 0 og 1, og så la de neste tallene i følgen være summen av de to foregående tallene. Den begynner slik:
0+1=1, 1+1=2, 1+2=3, 2+3=5, 3+5=8, 5+8=13. Tallene videre er 21, 34, 55, 89, 144, 233,...
Formelen for å finne det n-te tall i Fibonacci-følgen ble utviklet av Jacques Philippe Marie Binet i 1843:
hvor
er det gyldne snitt. Johannes Kepler påviste at Fibonacci-følgen konvergerer. Når fibonaccitallene går mot uendelig, vil forholdet mellom to påfølgende tall nærme seg stadig mer til grenseverdien φ eller det gyldne snitt. Fibonaccitallene er altså nært beslektet med det gyldne snitt og alle figurer som dette genererer, som det gyldne rektangel, det gyldne triangel, den gyldne spiral, pentagon og pentagram.
Fibonaccitallene opptrer i utallige naturfenomener, som måten blader blir organisert i mange planter, eller geometrien i en kongle, eller strukturen i en perlebåt.
Leonardo da Vinci (1452 – 1519) åpnet en av sine bøker med følgende utsagn: La ingen som ikke er matematiker lese mitt arbeid!. Denne spissformuleringen viser kunstnerens interesse for matematikkfaget. Ved siden av å interessere seg for geometri, studerte han menneskekroppen meget inngående. Han fant mange forhold på menneskekroppen som, ifølge ham selv, burde være lik det gyldne snitt for at det skulle være en perfekt kropp. Da Vinci hevdet at forholdet mellom høyden fra navlen og ned og høyden fra navlen og opp bør være lik det gyldne snitt. Det betyr at en person på 150 cm skal ha en navlehøyde på ca. 93 cm.
Mange billedkunstnere har, bevisst eller ubevisst, forholdt seg til det gyldne snitt i sine verker. Piet Mondrian arbeidet ofte lenge med elementene i sine Tableaux. Om han målte seg fram eller ikke, vet ingen, men de fleste delelinjene i disse bildene faller sammen med gyldne snitt-proporsjoner.
Et BBC-program om ansikter og skjønnhet handlet i stor utstrekning om at ansikter som hadde flatene fordelt etter det gyldne snitt ble ansett av det brede publikum som mere tiltalende enn ansikter som ikke var det. De fleste populære skuespillere og modeller i dag faller inn under denne «normen».
Den sveitsiskfødte franske arkitekten Le Corbusier var opptatt av harmoniske proporsjoner i arkitekturen og benyttet ofte det gyldne snitt som planleggingsverktøy. Hans Villa Stein i Garches (1927) har både i plan, oppriss og rominndeling rektangler som ligger nær det gyldne snitt. Han mente å se det gyldne snitt i menneskekroppens proporsjoner og festet seg ved at så mange førmoderne lengdemål over hele verden var knyttet til legemsdeler: alen (underarm), fot, tomme, favn, skritt osv. I 1948 utga han boken Le Modulor, hvor han beskrev et målesystem for arkitektur som han selv utviklet og tok i bruk i 1940-årene. Det var basert på det gyldne snitt, med utgangspunkt i en «ideell» mannskropp. Til å begynne med brukte han en gjennomsnittlig høy franskmann på 175 cm. Men underveis ombestemte han seg og tok i stedet utgangspunkt i 6 fot eller ca. 183 cm, som var idealhøyden for en britisk politimann, og dessuten mannens rekkevidde, en favn. Dermed fikk han knyttet sitt system til de gamle målesystemene. Hvis man deler denne mannskroppen etter det gyldne snitt, havner delingslinjen omtrent 113 cm over gulvet, og det tilsvarer navlehøyden. Videre deling etter forholdstallet gir «den røde serie» med høyder på 70 cm (et spise- eller arbeidsbord), 43 cm (et stolsete), 27 cm (en krakk). Så laget han en annen nummerserie basert på det dobbelte av navlehøyden, 226 cm, som han mente var så høyt en stående mann med oppstrakt arm kunne nå. Ved å dele denne høyden etter det gyldne snitt fikk han «den blå serie» med lengdene 140 cm (en god høyde å hvile armene i stående stilling) og 86 cm, mannens skritthøyde og skrittlengde. I senere utgaver av boken viser han en rekke eksempler på bruk av Le Modulor, blant dem l'unité d'habitation i Marseille (1947 – 52).
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.