Vektorrom
From Wikipedia, the free encyclopedia
Eit vektorrom i matematikk er ei mengd av element, kalla vektorar, definert med to operasjonar vektoraddisjon og skalarmultiplikasjon. Dei to operasjonane oppfyller eit sett av eigenskapar som er definert aksiomatisk.
Mange viktige matematiske resultat kan utleiast for alle vektorrom ved å basere utleiinga berre på dei definerte aksioma. Dersom ein kan vise at ei gjeven mengd er eit vektorrom, så har ein dermed vist at desse resultata er gyldige òg for den aktuelle mengda. Éit og same matematiske resultat kan dermed vise seg å vere gyldig for tilsynelatande ulike objekt som funksjonar og matriser, fordi begge desse typane objekt er element av vektorrom. Vektorrom er dermed ein abstraksjon som gjer ein i stand til å studere mange ulike matematiske objekt ut frå eit sett av sentrale felle si eigenskapar.
Ein sentrale eigenskap for elementa i eit vektorrom er at dei kan adderast og summen vil òg vere eit element i vektorrommet. Tilsvarande kan ein òg multiplisere ein vektor med ein skalar, og produktet vil vere eit nytt element i rommet. Desse eigenskapane blir omtalt som at rommet er lukka under vektoraddisjon og skalarmultiplikasjon. Linearitetseigenskapane til vektoraddisjonen er òg ein sentral karakteristisk eigenskap, og vektorrom er sentrale i studiet av lineær algebra og i funksjonalanalyse.
Eit vektorrom er karakterisert ved ein dimensjon, som laust sagt er lik mengder uavhengige retningar i rommet. Dimensjonen kan vere både endeleg og uendeleg. Mengda av alle punkt med tre koordinatar (x,y,z) kan definerast som eit tre-dimensjonalt vektorrom, med ein passande definisjon av addisjon og skalarmultiplikasjon for punkta. Med passande definisjon av operasjonane er mengda av alle kontinuerlege funksjonar eit uendeleg-dimensjonalt vektorrom.