Sampling

Sampling, tasting, eller punktprøving, er ein operasjon der ein måler amplituden til eit analogt signal ved (vanlegvis) faste tidspunkt. Sampling diskretiserer tidsaksen, slik at ein endar opp med ein sekvens av analoge måleverdiar. Med analoge måleverdiane meiner ein at amplituden ikkje er diskretisert. I praksis vil amplituden som oftast verta diskretisert (kvantisert) av ein etterfylgjande AD-omformar.

For andre tydingar av oppslagsordet, sjå musikksampling.

Grunngjeving for å sampla

Fig. 1 Blokkdiagram for digital signalhandsaming.

Når eit tidskontinuerleg signal skal handsamast eller lagrast på digital form må det først konverterast til ein sekvens av binære ord. Fig. 1 syner korleis eit system for sanntids digital signalhandsaming er bygt opp. Den grøne blokka til venstre konverterer eit analogt signal u(t) til ein sekvens av binære ord u(n). Den gule blokka i midten utfører ei eller anna form for filtrering, eller annan operasjon, av sekvensen u(n). Resultatet av denne prosesseringa er den binære sekvensen y(n), som vert konvertert til eit tidskontinuerleg analogt signal av den blå blokka til høgre i Fig. 1. Dette vert kalla rekonstruksjon. Om målet er å analysera signalet u(t) trengst ikkje rekonstruksjonsblokka til høgre i Fig. 1.

Kvantisering i tid og amplitude

Fig. 2 To alternativ for kvantisering av amplitude- og tidsaksane.

Det analoge signalet u(t) er kontinuerleg både i tid og amplitude. At signalet er tidskontinuerleg tyder at verdien u(t) er definert for alle tidsverdiar t. At signalet er analogt tyder at at alle verdiar, innan gitte minimum- og maksimumverdiar, er definerte, slik at signalet har ein kontinerleg varierande amplitude. Når eit slikt analogt signal skal konverterast til ein sekvens av binære ord må det kvantiserast både i tid og amplitude. Det er vanleg å kalla kvantiseringa langs tidsaksen for sampling, tasting, eller punktprøving. Ein tek med andre ord prøvar av amplituden med faste tidsinterval, kalla sampelinterval T. Denne operasjonen vert utført av blokka merka Sampler i Fig. 1. Kvantiseringa av amplituden vert tradisjonelt kalla kvantisering. På det viset held ein kvantisering av tid og amplitude frå kvarandre.

I prinsippet spelar det inga rolle om ein samplar (kvantiserer tidsaksen) først, eller om ein kvantiserer amplitudeaksen fyrst, Fig. 2. Men på grunn av at AD-omformaren treng litt tid til å konvertera frå det analoge signalet på inngangen til eit binært ord vert samplinga utført fyrst, slik som i Fig. 1. Spenninga på inngangen av AD-omformaren vert halden konstant medan konverteringa foregår. I praksis skjer dette ved at inngangsspenninga vert lagra i ein kondensator. Kombinasjonen av brytaren i sampleren og haldeelementet (kondensatoren) vert kalla ein sample og hald-krins, ofte forkorta til S/H-krins.

Modellering av sampling i tidsplanet

Fig. 3 Sampelkrins.
a) Brytarmodell
b) PAM-modell.

Fig. 4 Sampling sett i tidsplanet.
a) Analogt inngangssignal u(t)
b) Sampelsekvens s(t)
c) Sampla sekvens u(n)

Punktprøvinga kan modellerast som ein brytar, som vert opna og stengd av impulssekvens s(t), som illustrert i Fig. 3 a). Men krinsen kan òg modellerast som multiplikasjon mellom inngangssignalet u(t) og impulssekvensen s(t), ofte kalla sampelfunksjonen, som vist i Fig. 3 b). Sampelsekvensen kan uttrykkast

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT)}$

der T er sampelintervalet. Denne impulssekvensen er illustrert i Fig. 4 b), der T sampelintervallet. Operasjonen i Fig. 3 b) er Puls Amplitude Modulasjon (PAM). I tidsplanet kan vi uttrykkje det sampla signalet us(t) som:

${\displaystyle u_{s}(t)=u(t)s(t)}$.

Denne multiplikasjonen, eller PAM-modulasjonen, fører til at det tidskontinuerlege analoge inngangssignalet u(t), Fig 3 a), vert sampla (spenninga vert målt) ved sampelpunkta

${\displaystyle t=nT}$, for n = ..., -2, -1, 0, 1, 2, ...

Denne diskretiseringa kan modellerast som

${\displaystyle u(n)=\lim _{\epsilon \to 0}\int _{t=nT-\epsilon }^{nT+\epsilon }u(t)s(t)dt}$.

Ein står da att med den tidsdiskrete sekvensen i Fig. 3 c), som er definert berre ved sampelpunkta t = nT.

Etter som sampelintervalet T er konstant kan ein forenkla notasjonen og skriva berre n i staden for nT og u(n) i staden for u(nT).

Modellering av sampling i frekvensplanet

Fig. 5 Amplitudespekteret til eit sampla signal.
a) ${\displaystyle U(\omega )}$
b) ${\displaystyle S(\omega )}$
c) ${\displaystyle U_{s}(\omega )}$ når ${\displaystyle \omega _{M}<2\omega _{a}}$
d) ${\displaystyle U_{s}(\omega )}$ når ${\displaystyle \omega _{M}>2\omega _{a}}$.

For å få betre innsikt i samplingprosessen er det naudsynt å studera han i frekvensplanet. Ein finn frekvensresponsen til u(t) ved å ta fouriertransformasjonen av u(t). Ettersom u(t) er eit tidskontinuerleg signal må vi nytta ein kontinuerleg fouriertransformasjon:

${\displaystyle U(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }u(t)e^{-j\omega t}dt}$.

Fouriertransformasjon av impulssekvensen s(t) resulterer i

${\displaystyle S(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }s(t)e^{-j\omega t}dt=\int _{-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT)e^{-j\omega t}dt}$.

${\displaystyle ={\frac {2\pi }{T}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (\omega -{\frac {2\pi k}{T}})}$,

som syner at ein impulssekvens i tidsplanet resulterer i ein impulssekvens i frekvensplanet.

Etter som multiplikasjon i tidsplanet svarar til folding i frekvensplanet (multiplisert med ${\displaystyle 1/(2\pi )}$) kan frekvensresponssen til u(t) uttrykkjast som

${\displaystyle U_{s}(\omega )={\frac {1}{2\pi }}U(\omega )*S(\omega )={\frac {1}{2\pi }}U(\omega )*{\frac {2\pi }{T}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (\omega -{\frac {2\pi k}{T}})}$

${\displaystyle ={\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }U(\omega -k\omega _{s})}$,

der * er foldningsoperatoren. Dette syner at sampling resulterer i at spekteret til det sampla signalet vert periodiskt repetert; dvs. spekteret til det opphavlege signalet U(k), Fig. 5 a), vert repetert for kvar harmoniske av sampelfrekvensen, Fig. 5 c).

Samplingsteoremet

I Fig. 5 c) og 5 d) er ${\displaystyle \omega _{M}=2\pi f_{M}}$ frekvenskomponenten med høgaste frekvens i inngangssignalet u(t). I Fig. 5 c) er ${\displaystyle \omega _{M}<\omega _{s}/2}$ og det er ikkje overlapp mellom dei periodisk repeterte spektrum ${\displaystyle U(\omega -k\omega _{s})}$. I Fig. 5 d), derimot, er ${\displaystyle \omega _{M}>\omega _{s}/2}$, noko som medfører at det vert overlapp mellom dei periodisk repeterte spektera ${\displaystyle U(\omega -k\omega _{s})}$. Dette fenomenet vert kalla frekvensaliasing (eller berre aliasing). Aliasing fører til at dei periodisk repeterte spektruma vert overlagra kvarandre, noko som betyr at det ikkje lengre vert mogleg å skapa att det opphavlege signalet u(t) frå sampelpunkta. Det opphavlege signalet kan berre skapast att når dei periodisk repeterte spektruma ikkje overlappar kvarandre, noko som krev at ${\displaystyle \omega _{M}<2\pi f_{M}}$.

Dette er Nyquist–Kotelnikov-Shannon sitt samplingsteorem:

Eit tidskontinuerleg signal u(t) som berre inneheld frekvenskomponentar under ${\displaystyle f_{s}/2}$ kan rekonstruerast eksakt frå den sampla sekvensen u(n) = u(nT).

Samplingsteoremet seier berre at signalet kan skapast att, det seier ingen ting om korleis rekonstruksjonen skal utførast. For ei gitt bandbreidd ${\displaystyle f_{M}}$ på signalet u(t) krev samplingsteoremet at sampelfrekvensen ${\displaystyle f_{s}>2f_{M}}$. For å unngå aliasing er det, for en gitt sampelfrekvens ${\displaystyle f_{s}}$, nødvendig å avgrensa bandbreidda til signalet u(t) før det vert sampla. Dette gjer ein ved å plassera eit lågpassfilter før sample og hald-krinsen, som illustrert i Fig. 1. På grunn av at dette filteret har som oppgåve å hindra aliasing, vert det kalla eit antialiasingfilter.

Samplingsteoremet vert ofte kalla Nyquist sitt samplingsteorem, etter Harry Nyquist, som publiserte det i 1924^[1]. Vladimir Kotelnikov publiserte liknande resultat i 1933^[2] og Claude Shannon i 1949^[3].

Etter som altialiasingfilteret må vera eit analogt filter har det ulineær faserespons. I somme samanhengar kan den ulineære fasen vera problematisk, men han kan alltids rettast opp med ein faseequialiser realisert på diskret form (som eit digitalt filter) i den etterfylgjande prosesseringa.

Kjelder

1. Nyquist, H., Certain factors affecting telegraph speed, Bell System Technical Journal, Vol. 3, 1924, ss. 324–346.
2. Котельников, В.А., О пропускной способности эфира и проволоки в электросвязи, Всесоюзный энергетический комитет//Материалы к I Всесоюзному съезду по вопросам технической реконструкции дела связи и развития слаботочной промышленности, 1933. (Kotelnikov, K.A., Om overføringskapasitet i 'eteren' og kabel i elektrisk kommunikasjon), Upr. Svyazzi RKKA, 1933.
3. Shannon, C.E., Communication in the Presence of Noise, Proc. IRE, Vol. 37, nr. 1, 1949, ss. 10-21.