From Wikipedia, the free encyclopedia
Fermattala, som er oppkalla etter den franske matematikaren Pierre de Fermat, er positive heiltal av forma
der n er 0 eller eit positivt heiltal. Dei fyrste åtte fermattala er:
Om 2n + 1 er eit primtal og n > 0, kan det visast at n må vera ein toerpotens. (Om n = ab der 1 < a, b < n og b er eit oddetal, er 2n + 1 ≡ (2a)b + 1 ≡ (−1)b + 1 ≡ 0 (mod 2a + 1).) Alle primtal av forma 2n + 1 er med andre ord eit Fermattal og vert kalla Fermatprimtal. Dei einaste kjente fermatprimtala er F0,...,F4. For faktorising av fermattal sjå [1]
Fermattala kan uttrykkast med fyljande rekursjonar
for n ≥ 2. Desse rekursjonane kan alle provast med matematisk induksjon. Frå den siste rekursjonen kan vi utleia Goldbach sitt teorem, som seier at ingen koprime fermattal har ein felles faktor. For å visa dette går vi ut frå at 0 ≤ i < j og at Fi og Fj har ein felles faktor a > 1. Da dividerer a både produktet
og Fj, slik at a dividerer differensen deira 2. Ettersom a > 1 fører dette til at a = 2. Men dette er ei sjølvmotseiing, ettersom begge fermattala må vera oddetal. Ein logisk konsekvens av dette kan vi konstruere eit prov for at det finst uendeleg mange primtal: for kvar Fn, velg ein prime faktor pn. Sekvensen {pn} er da ein uendeleg sekvens av distinkte primtal.
Her er fleire grunnleggande eigenskapar til fermattala:
Pierre de Fermat, som var den fyrste som studerte tal av forma , la merke til at alle Fermattala til og med F4 var primtal. Ut frå denne observasjonen trekte han den forhasta konklusjonen at alle fermattala er primtal. Men i 1732 viste Leonhard Euler at
Euler hadde difor prova at alle faktorane til Fn må vera av forma k2n+1 + 1. For n = 5 fører dett til at dei einaste moglege faktorane er av forma 64k + 1. Etter dette tok det ikkje så lenge før Euler hadde funne faktoren 641 = 10×64 + 1.
Det er ei vanleg oppfatning at Fermat viste om kva Euler hadde kome fram til, så det kan verka rart at han ikkje nytta seg av dette resultatet for å finna andre faktorar. Ein grunn kan vera at Fermat hadde gjort ein reknefeil, men at han var så sikker på resultatet han hadde kome fram til at han ikkje kontrollerte det godt nok.
Ingen andre prime fermattal av forma Fn, med n > 4, er kjente. Fyljande problem er framleis uløyste:
Det følgjande heuristiske argument tyder på at talet på prim fermattal er endeleg. I fylje primtalsteoremet er «sannsynet» for at eit tal n er eit primtal ikkje meir enn A/ln(n), der A er ein konstant. Forventningsverdien for at eit fermattal er eit primtal er difor ikkje høgare enn
Det er viktig å ha klårt for seg at det ikkje finst noko eigentleg prov på denne relasjonen. For det fyrste er det lagt til grunn at fermattala oppfører seg tilfeldig, sjølv om det er kjent at faktorane til fermattala har noko spesielle eigenskapar. Sjølv om det er ei vanleg oppfatning at talet på prime fermattal er endeleg, finst det nokre spesialistar som ikkje er samde i dette Arkivert 2006-10-02 ved Wayback Machine.
Når dette vert skrive (2004) er det kjent at Fn er faktoriserbare for 5 ≤ n ≤ 32, men fullstendige faktoriseringar av Fn er berre er kjent for 0 ≤ n ≤ 11. Det største kjente faktoriserbare fermattalet er F2478782 og primfaktoren 3×22478785 + 1 vart oppdaga av John Cosgrave og Proth-Gallot gruppa hans, den 10. oktober 2003. Ein enda meir hugkveikjande bruk av det heuristiske argumentet ovanfor, men med same atterhald, er at sannsynet for at det finst nye primfermattal som er større enn F32 er i storleiksorden ein til ein milliard.
Det finst mange ekvivalente føresetnaden for at eit fermattal Fn skal vera prim:
På grunn av at dei fermattala som enda ikkje er faktorisert er svært store er det vanskelege å faktorisera dei eller å prova at dei er primtal. Pépin sin test, som kan utførast ved hjelp av moderne datamaskiner, er naudsynt og tilstrekkeleg for å prova at et fermattal er prime. Den elliptiske kurvemetoden er ein snøgg metode for å finna små primdivisorar. I prosjektet GIMPS, til dømes, leitar ein etter primdivisorar til fermattal ved hjelp av den eliptiske kurvemetoden. Prosjektet FermatSearch, som nyttar distribuert arkitektur parallellprosessering, har òg lukkast med å finna nokre faktorar av fermattal. Yves Gallot har realisert ein test basert på Proth sitt teorem, i form av eit Windows-program; exe-fila (Proth.exe) kan lastast ned frå The Prime Pages. I 1878 prova Lucas[2] at alle faktorane til eit fermattal er av forma , der k er eit positivt heiltal.
Fermat sitt vesle teorem nyttar fermattal for å generera uendeleg mange pseudoprimtal.
Om n er eit positivt heiltal, har vi at
Prov
Om er eit primtal, så er ein toerpotens.
Prov:
Ut frå at
om er ein 2'er-potens, eller , der og er eit oddetal, har vi at
Difor ville dividera , eller så er ikkje eit primtal.
Eit n-sidig regulært polygon kan konstruerast med passar og linjeal om og berre om n er både ein toerpotens og eit produkt av ein toerpotens og distinkte primfermattal. Med andre ord, berre om n er av forma n = 2kp1p2...ps, der k er eit ikkje-negativt heiltal og pi er distinkte primfermattal. Sjå konstruerbare polygon.
Eit positivt heiltal n er av forma over om og berre om φ(n) er ein toerpotens, der φ(n) er Euler sin totientfunktsjon.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.