Wormprobleem

De wiskundige Leo Moser stelde in 1966 een gestencilde lijst op van 50 openstaande meetkundige problemen. Een daarvan werd bekend als het wormprobleem van Moser.

De bovengrens met de cirkel en andere gevallen

Het luidt: "wat is het (convexe) gebied met minimale oppervlakte dat elke vlakke kromme van lengte 1 kan bedekken?" Hierbij wordt verondersteld dat de kromme mag geroteerd en verplaatst worden in het vlak, zolang de vorm ongewijzigd blijft; spiegeling is niet toegestaan.

Een aanschouwelijkere omschrijving van het probleem is dan: "wat is de grootte en de vorm van een vlakke hamer met minimumoppervlakte waarmee men een vlakke worm met één klap van kop tot staart kan platslaan, ongeacht hoe hij zich heeft gekronkeld?"

Dit is nog steeds een openstaand probleem. Het was ook niet meteen duidelijk of er wel een minimale oppervlakte bestaat. Het alternatief is dat er een grootste ondergrens bestaat die wel benaderd kan worden maar niet bereikt.

Laidacker en Poole bewezen in een ongepubliceerd artikel uit 1986 dat voor het convexe geval er inderdaad minimale bedekkingen bestaan.^[1] De oplossing is echter niet noodzakelijk uniek en de exacte vorm en oppervlakte van het minimum bleef onbepaald.

Boven- en ondergrenzen

Elke convexe hamer moet om te beginnen een aantal "moeilijke" wormen kunnen bedekken, die mee bepalen wat de onder- of bovengrens van de oplossing is:

• de rechte worm met lengte 1;
• de U-vormige worm die drie zijden vormt van een vierkant met zijden van 1/3;
• de worm die twee benen vormt van een gelijkzijdige driehoek met zijden 1/2;
• de "breedste" worm, dit is de worm waarvan de kleinste breedte van het convex omhulsel het grootst is van alle mogelijke wormen van lengte 1. J. Schaer construeerde in 1968 deze "breedste" kromme van lengte 1, en vond voor de breedte van het convex omhulsel een kleinste waarde van ongeveer 0,43893.

Ondergrens

Een oplossing van het probleem moet zowel een recht lijnstuk van lengte 1 kunnen bedekken als de brede kromme van Schaer. Daaruit volgt dat de oppervlakte van de oplossing ten minste 0,43893/2 of 0,21946 moet zijn. Dit is dus een ondergrens. Deze is later iets opgetrokken: in 2011 bepaalden Khandhawit, Pagonakis en Sriswasdi een verbeterde ondergrens van 0,232239.^[2]

Bovengrens

Aan de andere kant is het duidelijk dat een cirkelvormige hamer met diameter 1 elke kromme van lengte 1 kan bedekken. De oppervlakte daarvan is ongeveer 0,78539. Dit is een bovengrens die echter aan de ruime kant is. Rond 1970 bewees Aram Meir dat een halve cirkelschijf met diameter 1 ook elke kromme van lengte 1 kan bedekken; de oppervlakte daarvan is ongeveer 0,39269. Deze bovengrens is later nog herhaaldelijk verfijnd. Vooral de Amerikaanse wiskundige George Poole heeft zich met dit probleem beziggehouden.

• J. Gerriets en G. Poole vonden in 1974 een vorm met een oppervlakte van minder dan 0,28870. Het was een ruit met grote diagonaal 1 en kleine diagonaal ${\displaystyle 1/{\sqrt {3}}}$, waarvan een hoek aan het eind van de kleine diagonaal was afgeknot.^[3] In hun artikel formuleerden ze ook het vermoeden dat de bovengrens kleiner was dan 0,261799.

• Norwood, Poole en Laidacker vonden in 1992 een vorm met een oppervlakte kleiner dan 0,27524. Het is een verfijning van de vorm van Gerriets en Poole. Het is een cirkelsector van 60° met straal 0,5 met aan weerszijden een rechthoekige driehoek met hoeken 30°, 60° en 90°; de zijden ervan zijn resp. ${\displaystyle 0,5,{\sqrt {3}}/6,{\sqrt {3}}/3}$.^[1]

• Norwood en Poole verkleinden deze bovengrens in 2003 tot 0,260437, maar dan wel met een niet-convex gebied.^[4]

• In 1973 sprak de Amerikaanse wiskundige John Wetzel het vermoeden uit dat een cirkelsector met straal 1 en hoek 30° voldoende zou zijn. De oppervlakte van zo'n 'taartpunt' is ${\displaystyle \pi /12=0{,}2618\ldots }$. Rond 2019 hebben, onafhankelijk van elkaar, enerzijds Chatchawan Panraksa van de Mahidol University in Bangkok en Wachirin Wachiramala van de Chulalongkorn University in Bangkok, en anderzijds Yevgenya Movshivich van de University of Illinois hiervoor een bewijs geleverd. Beide bewijzen zijn nog in het 'peer review'-stadium.^[5]

Bronnen, noten en/of referenties

1. Rick Norwood, George Poole, Michael Laidacker. "The Worm Problem of Leo Moser." Discrete & Computational Geometry (1992), vol. 7, blz. 153-162.
2. Tirasan Khandhawit, Dimitrios Pagonakis, Sira Sriswasdi. "Lower Bound for Convex Hull Area and Universal Cover Problems." arXiv.org, 2011; latere versie gepubliceerd in International Journal of Computational Geometry & Applications (2013), vol. 23 nr. 3, blz. 197. DOI:10.1142/S0218195913500076
3. J. Gerriets, G. Poole. "Convex regions which cover arcs of constant length." MAA Monthly (1974), vol. 81, blz. 36-41.
4. Rick Norwood, George Poole. "An Improved Upper Bound for Leo Moser's Worm Problem." Discrete & Computational Geometry (2003), vol. 29 nr. 3, blz. 409-417. DOI:10.1007/s00454-002-0774-3
5. Alex van den Brandhof, Pats. De hele worm in één keer plat, nrc 25 januari 2020