Stelling van Green

Van Wikipedia, de vrije encyclopedie

De stelling van Green is een wiskundige stelling die een verband legt tussen een kringintegraal over een enkelvoudige gesloten kromme in twee dimensies en een dubbelintegraal over het oppervlak dat door de kromme wordt omsloten. De stelling is naar de Britse natuurkundige George Green genoemd en vindt onder andere toepassing in de natuurkunde.

De stelling van Green komt overeen met de stelling van Stokes in twee dimensies. Beide stellingen hebben op dezelfde manier betrekking op een kringintegraal.

Stelling

Samenvatten
Perspectief

Als en continue functies zijn in een normaal gebied dat volledig behoort tot een open gebied in twee dimensies met continue partiële afgeleiden en , en wordt begrensd door een stuksgewijs gladde, enkelvoudige gesloten kromme , doorlopen in tegenwijzerzin,[1] dan geldt:

Bewijs 
Thumb

Hier volgt een bewijs voor het geval dat een gebied is zoals in nevenstaande figuur is aangegeven, dus onder en boven begrensd door continue krommen en en links en rechts door rechte lijnen en .

Beschrijf het gebied door:

,

waarin en continue functies zijn. We berekenen:

Voor de integraal van over vinden we:

Uit deze twee resultaten volgt:

Op dezelfde manier kan men voor afleiden dat:

Uit deze laatste twee volgt de stelling.

Oppervlakte

Loading related searches...

Wikiwand - on

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.