Spiraal van Ulam

De spiraal van Ulam is een spiraal van de natuurlijke getallen waarbij de priemgetallen gemarkeerd zijn. Het blijkt dan, dat de priemgetallen in bepaalde diagonale patronen voorkomen. De spiraal werd ontdekt door de wiskundige Stanisław Marcin Ulam in 1963.

De spiraal van Ulam van 200 bij 200: 1(1)40.000

De spiraal

Tijdens een wetenschappelijke bijeenkomst tekende Ulam uit verveling een rooster in de vorm van een spiraal, waarop hij de natuurlijke getallen neerzette met het getal 1 in het midden:

Hij markeerde vervolgens de priemgetallen:

Hij zag, tot zijn verbazing, dat de priemgetallen de neiging hebben om zich op diagonalen van de spiraal te bevinden. De diagonalen zijn ook zichtbaar wanneer er heel veel getallen in een spiraal worden geplaatst. Het opvallende is, dat priemgetallen zich meer op bepaalde diagonalen bevinden dan op andere. Het patroon is ook zichtbaar wanneer men met een ander getal begint.^[1] De reden waarom deze patronen ontstaan is nog niet bekend.

Ulams ontdekking was dermate belangwekkend, dat de spiraal op de voorkant van de Scientific American van maart 1964 werd afgebeeld. In die editie stond een artikel over de spiraal in Martin Gardners Mathematical Recreations getiteld The Remarkable Lore of the Prime Number.^[1]

Kenmerken

Het bestaan van deze diagonalen geeft aan dat er rijen van priemgetallen gegenereerd kunnen worden met de volgende functie ${\textstyle f\colon \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} }$:

${\displaystyle f(n)=an^{2}+bn+c}$, waarbij ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {Z} }$.^[1]

De door Leonhard Euler ontdekte formule

${\displaystyle f(n)=n^{2}-n+41}$

die priemgetallen oplevert voor ${\textstyle 0\leq n\leq 40}$ is zichtbaar op de diagonaal, als men begint met het getal 41 in het midden en eindigt met 40² + 1 = 1601 (39×40 + 41).^[1]

Spiraal van Ulam startend met priem 41, kloksgewijs tot priem 801

Ook de formule

${\displaystyle f(n)=n^{2}+n+17}$

is ontdekt door Euler; deze levert priemgetallen 17−257 (15² + 30+2, 15×16 + 17) op voor ${\textstyle 0\leq n\leq 15}$.

Varianten

De Sacks-spiraal met NumberSpiral

De spiraal van Sacks is een variant van de spiraal van Ulam. Deze spiraal werd in 1994 gemaakt door Robert Sacks. Hierbij worden de getallen, beginnend bij 0, op een Archimedes-spiraal geplaatst in plaats van de vierkante spiraal, die Ulam gebruikte. Uit 1932 stamt de Klauber-driehoek met de priemgetallen op verticale lijnen.

Externe links

• (en) Weisstein, Eric W: "Prime Spiral." op https://mathworld.wolfram.com, een Wolfram Web Resource.
• Derck van Schuylenburch (mei 2019) https://www.ulamspiralmethod.com, website licht toe de diagonale oriëntatie, de fragmentarische staat van de rijen van priemgetallen in de Ulam-spiraal.

Bronnen, noten en/of referenties

1. (en) A whirlpool of numbers | plus.maths.org. plus.maths.org (1 mei 2003).

Mediabestanden

Zie de categorie Ulam spiral van Wikimedia Commons voor mediabestanden over dit onderwerp.