Pseudo-euclidische ruimte

Een pseudo-euclidische ruimte is een eindige-dimensionale reële vectorruimte samen met een niet-gedegenereerde^[1], niet-definiete kwadratische vorm. Zo'n kwadratische vorm kan, na een verandering in coördinaten, geschreven worden als

${\displaystyle q(x)=\left(x_{1}^{2}+\cdots +x_{k}^{2}\right)-\left(x_{k+1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}\right)}$

waarin ${\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})}$, het getal ${\displaystyle n}$ de dimensie van de ruimte is, en ${\displaystyle 1\leq k<n}$.

Een zeer belangrijke pseudo-euclidische ruimte is de minkowski-ruimte, het wiskundige kader, waarin Albert Einsteins speciale relativiteitstheorie het meest natuurlijk in wordt geformuleerd. Voor een minkowski-ruimte geldt dat ${\displaystyle n=4}$ en ${\displaystyle k=3}$. Voor echte euclidische ruimten geldt dat ${\displaystyle k=n}$, zodat de kwadratische vorm dus positief-definiet en niet indefiniet is.

Een andere pseudo-euclidische ruimte is het vlak ${\displaystyle z=x+yj}$, dat bestaat uit de split-complexe getallen, uitgerust met de kwadratische vorm

${\displaystyle \|z\|=zz^{*}=z^{*}z=x^{2}-y^{2}}$.

In een pseudo-euclidische ruimte wordt de grootte van een vector ${\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ gedefinieerd als ${\displaystyle q(x)}$. Anders dan in een euclidische ruimte, zijn er in een pseudo-euclidische ruimte vectoren ongelijk aan de nulvector maar met grootte nul, en ook vectoren met negatieve grootte.

Geassocieerd met de kwadratische vorm ${\displaystyle q}$ is het pseudo-euclidische inwendig product

${\displaystyle \langle x,y\rangle =(x_{1}y_{1}+\ldots +x_{k}y_{k})-(x_{k+1}y_{k+1}+\ldots +x_{n}y_{n}).}$

Deze bilineaire vorm is symmetrisch, maar niet positief-definiet, zodat het geen "echt" inwendig product is.

Een interessante eigenschap van de pseudo-euclidische ruimte is dat er in deze ruimte niet alleen een eenheidsbol ${\displaystyle \{x|q(x)=1\}}$ is, maar ook een tegenbol ${\displaystyle \{x|q(x)=-1\}}$. Deze hyperoppervlakken zijn in werkelijkheid gegeneraliseerde hyperboloïden.

Zie ook

• Pseudo-riemann-variëteit

Voetnoten

1. "Niet gedegenereerd" komt er hier op neer dat er geen termen ontbreken.

Referenties

• (en) Szekeres, Peter (2004). A course in modern mathematical physics: groups, Hilbert space, and differential geometry. Cambridge University Press. ISBN 0521829607.
• (en) Novikov, S. P., Fomenko, A.T.; [uit het Russisch in het Engels vertaald door M. Tsaplina] (1990). Basic elements of differential geometry and topology. Dordrecht; Boston: Kluwer Academic Publishers. ISBN 0792310098.