Open afbeeldingsstelling

In de functionaalanalyse, een deelgebied van de wiskunde, is de open afbeeldingsstelling, ook wel bekend als de stelling van Banach-Schauder (vernoemd naar Stefan Banach en Juliusz Schauder), een fundamenteel resultaat, dat stelt dat iedere continue lineaire afbeelding tussen banachruimten die surjectief is, ook een open afbeelding is.

Oorspronkelijke vorm

Banach^[1] formuleert de stelling in termen van rijen in F-ruimten, dat zijn topologische vectorruimten waarvan de topologie wordt voortgebracht door een volledige tranlatie-invariante metriek. Elke banachruimte is per definitie een F-ruimte.

Als een continue lineaire afbeelding ${\displaystyle f}$ een F-ruimte ${\displaystyle X}$ surjectief afbeeldt op een F-ruimte ${\displaystyle Y}$, en ${\displaystyle (y_{1},\ldots ,y_{n},\ldots )}$ is een rij in ${\displaystyle Y}$ die convergeert naar ${\displaystyle y=f(x)\in Y}$, dan bestaat er een rij ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n},\ldots )}$ in ${\displaystyle X}$ die naar ${\displaystyle x}$ convergeert en zodanig is dat voor elke ${\displaystyle n}$ geldt dat ${\displaystyle f(x_{n})=y_{n}}$.

Alternatieven en generalisaties

Een herformulering met open verzamelingen, hier in het geval van banachruimten, luidt:^[2]

Zij ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ een surjectieve continue lineaire afbeelding tussen banachruimten, dan is het beeld onder ${\displaystyle f}$ van een open deel van ${\displaystyle X}$ steeds een open deel van ${\displaystyle Y}$.

Het bewijs maakt gebruik van de categoriestelling van Baire, en de volledigheid van zowel ${\displaystyle X}$ als ${\displaystyle Y}$ is van essentieel belang voor deze stelling. De bewering in deze stelling gaat niet langer op als een van beide ruimten slechts een genormeerde vectorruimte is, maar is waar als zowel ${\displaystyle X}$ als ${\displaystyle Y}$ als fréchet-ruimten worden genomen.

De rol van baire-categorieën wordt uitdrukkelijker in de volgende generalisatie:^[3][4]

Als ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ een continue lineaire afbeelding is van een F-ruimte ${\displaystyle X}$ naar een topologische vectorruimte ${\displaystyle Y}$, en ${\displaystyle f(X)}$ is van de tweede categorie in ${\displaystyle Y}$, dan is ${\displaystyle f(X)=Y}$, en tevens is ${\displaystyle Y}$ eveneens een F-ruimte en ${\displaystyle f}$ een open afbeelding.

Voetnoten

1. (fr) Hoofdstuk 3, stelling 4 in Stefan Banach, Théorie des opérations linéaires, Monografje Matematyczne 1, Warschau 1932.
2. (en) Stelling 1 van paragraaf 3.2 in Carl L. DeVito, Functional Analysis, Pure and Applied Mathematics 81, Academic Press 1978.
3. (en) Stelling 2.11 in Walter Rudin, Functional Analysis, McGraw-Hill, 1973, ISBN 0-07-054236-8
4. (en) Paragraaf 12.16.8 in Jean Dieudonné, Treatise on Analysis vol. II, Pure and Applied Mathematics 10-II, Academic Press 1976. Dieudonné eist wel op voorhand dat ${\displaystyle X}$ en ${\displaystyle Y}$ allebei Fréchet-ruimten zijn.