Loading AI tools
Van Wikipedia, de vrije encyclopedie
Een normaalvergelijking van Hesse, ook normaalvorm van Hesse of hesse-vergelijking, is in de analytische meetkunde een bijzondere vorm van de vergelijking van een rechte lijn of van een plat vlak. De hesse-vergelijking beschrijft een lijn in het platte vlak of een vlak in drie dimensies met behulp van een genormeerde normaalvector van de lijn of het vlak, en de afstand tot de oorsprong. De hesse-vergelijking wordt meestal gebruikt bij het berekenen van de (loodrechte) afstand van een punt tot een rechte lijn of tot een plat vlak. De vergelijking is genoemd naar de Duitse wiskundige Otto Hesse (1811-1874), die de vergelijking gebruikte – hoewel niet als eerste – in zijn boek uit 1865 “Vorlesungen” uit de meetkunde over de rechte lijn.[1][2]
In het euclidische vlak, , is een lijn gegeven. De steunvector staat loodrecht op de lijn. De eenheidsnormaalvector op de lijn is de vector met lengte . Daarvoor geldt:
waarin de hoek is tussen de positieve -as en . De lengte van de steunvector is de afstand van de lijn tot de oorsprong.
Voor elk punt op de lijn is het inproduct met de normaalvector gelijk aan:
Deze vergelijking heet de hesse-vergelijking van de lijn .
Alternatief kan worden afgeleid, met de hoek tussen en :
Als de lijn gegeven wordt door de vergelijking:
is de hesse-vergelijking:
en is de normaalvector
Is een niet op gelegen punt, dan kan de afstand van tot de lijn worden berekend met behulp van de lijn die door gaat en evenwijdig is met ; zie figuur 3.
Is de afstand van tot gelijk aan en die tot gelijk aan , dan zijn de hesse-vergelijkingen van die lijnen:
Voor de afstand van tot is dan:
Hierin is de waarde van op het eerste gezicht onbekend, maar het punt ligt op de lijn , en dan voldoen de coördinaten van aan de vergelijking van die lijn. En dan is:
zodat:
In woorden: de afstand van het punt tot een lijn met hesse-vergelijking wordt berekend door de coördinaten van in die vergelijking te substitueren en van de uitkomst te absolute waarde te nemen.
Voor de berekening van de afstand van het punt tot de lijn met vergelijking:
is de hesse-vergelijking van die lijn:
Dan is:
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.