Kansfunctie

De verdeling van een discrete stochastische variabele ${\displaystyle X}$ wordt geheel bepaald door de kansen op de hoogstens aftelbare waarden die ${\displaystyle X}$ kan aannemen. Deze kansen worden vastgelegd door de kansfunctie ${\displaystyle p_{X}}$ van ${\displaystyle X}$. De kansfunctie bepaalt dus de kansverdeling. De kansfunctie wordt voor de mogelijke waarden ${\displaystyle x}$ gedefinieerd door:

${\displaystyle p_{X}(x)=P(X=x)}$

Let op het verschil tussen ${\displaystyle X}$ en ${\displaystyle x}$. Voor iedere kansverdeling gelden de axioma's van de kansrekening.^[1]

De kansdichtheid komt voor een continue stochastische variabele overeen met de kansfunctie voor een discrete stochastische variabele.

Voorbeeld

Het totale geworpen aantal ogen bij twee worpen met een dobbelsteen is een stochastische variabele ${\displaystyle X}$, gedefinieerd door:

${\displaystyle X(\omega _{1},\omega _{2})=\omega _{1}+\omega _{2}}$,

waarin ${\displaystyle \omega _{1}}$ en ${\displaystyle \omega _{2}}$ de uitkomsten zijn van de eerste en de tweede worp. Het waardenbereik van ${\displaystyle X}$ bestaat uit de getallen 2 tot en met 12, eindig veel, dus ${\displaystyle X}$ is discreet. De kansverdeling wordt gegeven door de kansfunctie ${\displaystyle p_{X}}$ uit de onderstaande tabel.

${\displaystyle x}$	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
${\displaystyle p_{X}(x)}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{36}}}$	${\displaystyle {\tfrac {2}{36}}}$	${\displaystyle {\tfrac {3}{36}}}$	${\displaystyle {\tfrac {4}{36}}}$	${\displaystyle {\tfrac {5}{36}}}$	${\displaystyle {\tfrac {6}{36}}}$	${\displaystyle {\tfrac {5}{36}}}$	${\displaystyle {\tfrac {4}{36}}}$	${\displaystyle {\tfrac {3}{36}}}$	${\displaystyle {\tfrac {2}{36}}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{36}}}$

Voetnoten

1. ${\displaystyle p_{X}(x)\geq 0}$,
   ${\displaystyle \sum _{x}p_{X}(x)=1}$ en
   voor twee disjuncte verzamelingen ${\displaystyle x}$ en ${\displaystyle y}$ geldt dat ${\displaystyle P_{X}(x\cap y)=P_{X}(x)+P_{X}(y)}$

Kansrekening

kansrekening · statistiek · toeval · uitkomstenruimte · stochastische variabele · kansverdeling · verwachtingswaarde · kansfunctie · kansdichtheid · voorwaardelijke kans