Loading AI tools
Van Wikipedia, de vrije encyclopedie
In de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, is de speciale unitaire groep van graad , genoteerd als , de groep van unitaire -matrices met determinant 1. De groepsbewerking is die van de matrixvermenigvuldiging. De speciale unitaire groep is een deelgroep van de unitaire groep van unitaire -matrices, die zelf weer een deelgroep is van de algemene lineaire groep .
De groepen vinden een brede toepassing in het standaardmodel in de natuurkunde, speciaal de in de elektro-zwakke interactie en in de kwantumchromodynamica.
Het simpelste geval, , is de triviale groep, die slechts één enkel element heeft. De groep is isomorf met de groep van de quaternionen met absolute waarde gelijk aan 1, en zijn dus diffeomorf met de 3-sfeer. Aangezien eenheidsquaternionen worden gebruikt om rotaties in de driedimensionale ruimte weer te geven, hebben we een surjectief homomorfisme van met de rotatiegroep , waarvan de kern gelijk is aan .
De speciale unitaire groep is een reële matrix lie-groep van dimensie . Topologisch is de speciale unitaire groep compact en enkelvoudig samenhangend. Algebraïsch is het een enkelvoudige lie-groep (dit betekent dat zijn lie-algebra enkelvoudig is; zie onder). Het centrum van is isomorf met de cyclische groep . De uitwendige automorfismegroep, voor , is , terwijl de uitwendige automorfismegroep voor de triviale groep is.
De wordt als algebra gegenereerd door operatoren die voor voldoen aan de commutatorrelatie
In aanvulling hierop moet de operator
voldoen aan
wat impliceert dat het aantal onafhankelijke generatoren van gelijk is aan .[1]
Een algemene -matrix heeft de vorm
waarin staat voor de complex geconjugeerde en en complexe getallen zijn met
In de definiërende representatie zijn de generatoren proportioneel aan de Pauli-matrices via:
waarin:
Merk op dat alle generatoren, zoals vereist spoorloze hermitische matrices zijn.
De structuurconstanten voor worden gedefinieerd door het Levi-Civita-symbool
De rest kan worden bepaald door antisymmetrie. Alle -waarden verdwijnen.
De generatoren van worden in de definiërende representatie gegeven door:
waarin de Gell-Mann-matrices voor het analogon zijn van de pauli-matrix voor :
Merk op dat alle generatoren, zoals vereist spoorloze hermitische matrices zijn.
Dit voldoet aan de relaties
waarin de structuurconstanten worden gegeven door
De -waarden zijn:
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.