Nevenklasse

In de groepentheorie, een onderdeel van de abstracte algebra, is een nevenklasse binnen een groep ${\displaystyle G}$ een deelverzameling ${\displaystyle gH}$ of ${\displaystyle Hg}$ van ${\displaystyle G}$, die bestaat uit de producten van een element ${\displaystyle g\in G}$ en de elementen van een ondergroep ${\displaystyle H}$ van ${\displaystyle G}$. De nevenklasse ${\displaystyle gH}$ van ${\displaystyle g}$ ten opzichte van ${\displaystyle H}$ heet linkernevenklasse en de nevenklasse ${\displaystyle Hg}$ rechternevenklasse. De verschillende nevenklassen van ${\displaystyle H}$ zijn onderling disjunct en vormen een partitie van ${\displaystyle G}$. Het aantal elementen in een nevenklasse ${\displaystyle gH}$ of ${\displaystyle Hg}$ is gelijk aan het aantal elementen van de ondergroep ${\displaystyle H}$ zelf.

Definitie

Zij ${\displaystyle G}$ een groep, ${\displaystyle H}$ een ondergroep van ${\displaystyle G}$ en ${\displaystyle g}$ een element van ${\displaystyle G}$.

De linkernevenklasse ${\displaystyle gH}$ van ${\displaystyle g}$ ten opzichte van ${\displaystyle H}$ is de verzameling producten van elementen van ${\displaystyle H}$, links samengesteld met ${\displaystyle g}$:

${\displaystyle gH=\{gh\mid h\in H\}}$.

De verzameling van alle linkernevenklassen van ${\displaystyle H}$ in ${\displaystyle G}$ noteert men gewoonlijk als ${\displaystyle G/H}$.

De rechternevenklasse ${\displaystyle Hg}$ van ${\displaystyle g}$ ten opzichte van ${\displaystyle H}$ is de verzameling producten van elementen van ${\displaystyle H}$, rechts samengesteld met ${\displaystyle g}$:

${\displaystyle Hg=\{hg\mid h\in H\}}$.

De verzameling van alle rechternevenklassen van ${\displaystyle H}$ in ${\displaystyle G}$ noteert men gewoonlijk als ${\displaystyle G\backslash H}$

Equivalentierelatie

Nevenklassen zijn equivalentieklassen. Twee elementen ${\displaystyle a}$ en ${\displaystyle b}$ van de groep ${\displaystyle G}$ zijn equivalent als ze tot dezelfde nevenklasse ${\displaystyle gH}$ behoren.

${\displaystyle a\sim b}$ als voor een ${\displaystyle g\in G}$: ${\displaystyle a,b\in gH}$

Dit komt erop neer dat er een ${\displaystyle h\in H}$ is zodanig dat:

${\displaystyle b=ah}$

Alternatief geldt:

${\displaystyle a\sim b\Longleftrightarrow aH=bH\Longleftrightarrow b\in aH\Longleftrightarrow a^{-1}b\in H}$

De linkernevenklassen zijn dus de equivalentieklassen van deze relatie.

Commutativiteit

Linker- en rechternevenklassen zijn in een commutatieve groep gelijk, maar kunnen in een groep die niet commutatief is verschillen. De normalisator van ${\displaystyle H}$ in ${\displaystyle G}$ is de verzameling elementen van ${\displaystyle G}$ waarvoor de betrokken linker- en rechternevenklasse identiek zijn.

Als de linker-en rechternevenklassen van een ondergroep ${\displaystyle H}$ identiek zijn voor alle elementen van ${\displaystyle G}$, heet ${\displaystyle H}$ een normaaldeler van ${\displaystyle G}$ en spreekt men kortweg van nevenklassen. In dat geval kan ${\displaystyle G/H}$ ook uitgerust worden met een groepsbewerking en wordt de factorgroep van ${\displaystyle G}$ over ${\displaystyle H}$ genoemd.

In een commutatieve groep zijn alle ondergroepen normaaldelers.

Voorbeelden

Voorbeeld in een abelse groep

Beschouw de veelvouden van 8 als ondergroep van de gehele getallen met de gewone optelling:

${\displaystyle 8\mathbb {Z} =\{\ldots ,-16,-8,0,8,16,24,\ldots \}}$

De nevenklasse van het getal 35 bestaat uit alle veelvouden van 8, plus 3:

${\displaystyle 8\mathbb {Z} +35=8\mathbb {Z} +3=\{\ldots ,-5,3,11,19,27,35,\ldots \}}$

Het is de restklasse van 3 (en van 35) bij deling door 8.

Voorbeeld in een niet-abelse groep

Beschouw de groep ${\displaystyle SO(3)}$ van de rotaties van de reële driedimensionale ruimte. Dit is een lie-groep, maar in dit voorbeeld speelt alleen de algebraïsche structuur een rol. Beschouw een orthonormaal coördinatenstelsel ${\displaystyle (x,y,z)}$ en noem ${\displaystyle H}$ de ondergroep van ${\displaystyle SO(3)}$ die bestaat uit de rotaties om de ${\displaystyle z}$-as. Noem ${\displaystyle r}$ de rotatie over een rechte hoek om de ${\displaystyle y}$-as die de ${\displaystyle z}$-as op de ${\displaystyle x}$-as afbeeldt, met behoud van de oriëntatie (de positieve zijde van de ${\displaystyle z}$-as wordt op de positieve zijde van de ${\displaystyle x}$-as afgebeeld).

De linkernevenklasse ${\displaystyle rH}$ bestaat uit alle rotaties die de ${\displaystyle z}$-as met behoud van oriëntatie op de ${\displaystyle x}$-as afbeelden. De rechternevenklasse ${\displaystyle Hr}$ bestaat uit alle rotaties die de ${\displaystyle x}$-as met omkering van de oriëntatie op de ${\displaystyle z}$-as afbeelden. Beide nevenklassen zijn van elkaar verschillend en hebben zelfs maar één element gemeenschappelijk, namelijk ${\displaystyle r}$ zelf.

De ondergroep ${\displaystyle H}$ is geen normaaldeler van ${\displaystyle SO(3)}$. De normalisator van ${\displaystyle H}$ in ${\displaystyle SO(3)}$ is ${\displaystyle H}$ zelf.

Cardinaliteit

De samenstelling met een vast element ${\displaystyle g}$ is een permutatie van ${\displaystyle G}$, dus alle nevenklassen van ${\displaystyle H}$ hebben evenveel elementen als ${\displaystyle H}$ zelf.

Voor eindige groepen geldt de stelling van Lagrange over de orde, het aantal elementen, van een ondergroep:

De orde van ${\displaystyle G}$ is het product van de orde van ${\displaystyle H}$ en het aantal nevenklassen van ${\displaystyle H}$ in ${\displaystyle G}$.

Dit is altijd, dus wanneer de linker- en rechternevenklassen samenvallen, maar ook wanneer zij verschillend zijn.