Loading AI tools
Van Wikipedia, de vrije encyclopedie
In de abstracte algebra, een deelgebied van de wiskunde, is een monoïde een algebraïsche structuur die bestaat uit een verzameling die is uitgerust met een enkele associatieve binaire operatie en een neutraal element, ook wel eenheids- of identiteitselement genoemd.
Een voorbeeld van een monoïde is de verzameling van de natuurlijke getallen met de operatie optellen en het getal 0 als neutraal element.
Een monoïde heeft meer algebraïsche structuur dan een halfgroep, omdat in een halfgroep het bestaan van een neutraal element niet is vereist. Een monoïde wordt daarom wel als een unitaire halfgroep aangeduid. Iedere groep is weer een monoïde, een monoïde waarin ieder element een inverse heeft. Iedere groep is annuleerbaar, een monoïde hoeft dat niet te zijn.
Algebraïsche structuur | ||
---|---|---|
Groep · Halfgroep · Ideaal · Lichaam/veld · Magma · Monoïde · Ring |
Onder een monoïde verstaat men een niet-lege verzameling met daarop een associatieve binaire operatie: en een voor deze bewerking neutraal element , die dus voldoen aan de volgende axioma's:
Als een operatie expliciet moet worden gemaakt, kan een monoïde worden aangegeven door het paar . Het is gebruikelijk om in plaats van te schrijven voor het resultaat van de bewerking toegepast op de elementen .
De vrije monoïde van een verzameling is de monoïde die bestaat uit de verzameling van alle eindige rijen van nul of meer elementen van , met concatenatie, het achter elkaar zetten, als operatie, en de rij van nul elementen als neutraal element.
In de context van een tekenset , een verzameling schrifttekens zoals letters, cijfers en leestekens is de vrije monoïde de verzameling (eindige) tekenreeksen bij deze tekenset. In relatie tot computers wordt een tekenset vaak besproken in combinatie met de tekencodering.
Monoïden komen in aantal deelgebieden van de wiskunde voor. In de meetkunde representeert een monoïde het concept van een functiecompositie. Dit idee is geabstraheerd in de categorietheorie, waar de monoïde een categorie met een object is. Monoïden worden ook gebruikt om een stevige algebraïsche fundering te geven aan de informatica.