Ellips (wiskunde)

Een ellips (Grieks ἔλλειψις, het tekortschieten) is in de wiskunde een vlakke kromme waarbij de som van de afstanden van alle punten op de kromme tot twee brandpunten constant is. De ellips is een nauwkeurig gedefinieerd speciaal geval van het ruime begrip ovaal.

Ellips als kegelsnede

Enkele termen geïllustreerd

Een cirkel is een speciaal geval van een ellips, zoals een vierkant een speciaal geval is van een rechthoek.

Een ellips is ook een kegelsnede, gevormd door de snijlijn van een kegel of een cilinder met een plat vlak. Het platte vlak moet hierbij de kegelas respectievelijk de cilinderas snijden. Bij het snijden met de kegel moet de hoek tussen de kegelas en het platte vlak groter zijn dan de helft van de openingshoek van de kegel.

Definitie

Ellips met halve assen (${\displaystyle a}$ en ${\displaystyle b}$) en brandpunten

Een ellips in de meetkunde is een tweedimensionale figuur die de meetkundige plaats is van alle punten waarvoor de som van de afstanden (rode lijn in de figuur) tot twee gekozen punten, de brandpunten (f1 en f2), een vaste waarde heeft. Een ellips heeft twee assen: het lijnstuk door de brandpunten die tegenovergelegen punten van de ellips verbindt heet de lange as of grote as met halve lengte ${\displaystyle a}$ en het overeenkomstige lijnstuk loodrecht daarop door het midden van de lange as is korte as of kleine as, met halve lengte ${\displaystyle b}$.

In het geval van een cirkel zijn de lange en korte as even lang en is de richting van de lange as onbepaald. Als de ellips geen cirkel is heeft deze dezelfde symmetrie als een rechthoek. De cirkel heeft meer symmetrie, ook meer dan een vierkant.

Alternatieve definitie uitgaande van brandpunt en richtlijn

Een ellips als verzameling punten waarvan de verhouding tussen de afstand tot een brandpunt en die tot een richtlijn constant is

Een ellips is de meetkundige plaats van de punten in het plat vlak waarbij de verhouding van de afstand tot een willekeurig punt, brandpunt geheten, tot de afstand tot een willekeurige rechte, richtlijn geheten, constant is. Deze constante verhouding is gelijk aan de excentriciteit van de ellips, voorgesteld door e. Er moet gelden 0<e<1 (zie ook excentriciteit (astronomie)). De excentriciteit bepaalt de vorm van de ellips, aanvullend is er dan parameter a voor de grootte.

Met beide brandpunten van de ellips correspondeert de dichtstbijzijnde richtlijn. Ze zijn evenwijdig aan de korte as, en liggen op een afstand van ${\displaystyle {\frac {a}{e}}}$ ervan. De afstand van de ellips tot de richtlijn is ${\displaystyle {\frac {a}{e}}-a}$, dit is voor ${\displaystyle e\approx 1}$ ongeveer gelijk aan ${\displaystyle a(1-e)}$. De afstand van het betreffende brandpunt tot de ellips is dan ook ongeveer hieraan gelijk. Als ${\displaystyle e}$ van onder naar 1 nadert en ${\displaystyle a(1-e)}$ gelijk gehouden wordt, en ${\displaystyle a}$ dus naar oneindig nadert, nadert de ellips in de buurt van het betreffende brandpunt en de betreffende richtlijn tot een parabool, met als as de lange as van de ellips, en met een richtlijn die nog steeds loodrecht op die as staat. In hun geheel gezien zijn de zeer lange ellips en de parabool wel zeer verschillend, want de parabool heeft geen korte as en daarmee ook geen tweede as van symmetrie.

Voor een cirkel geldt ${\displaystyle e=0}$. Voor een ontaarde cirkel die bestaat uit een punt (de samenvallende brandpunten) is elke lijn richtlijn, voor andere cirkels is er geen richtlijn en is de genoemde definitie/eigenschap niet van toepassing.

Als conflictlijn tussen een cirkel en een punt

De ellips als een conflictlijn, met cirkel C als directrice; voor ieder punt P op de ellips geldt dat de afstand tot het gegeven punt F₁ gelijk is aan de afstand tot de cirkel; het middelpunt M van de cirkel is tevens het tweede brandpunt F₂ van de ellips.

De ellips is ook op te vatten als conflictlijn tussen een punt en een cirkel, die dan richtcirkel of directrice wordt genoemd. Het gegeven punt is dan het ene brandpunt, het middelpunt van de gegeven cirkel is het andere brandpunt.

Als contractie van een cirkel

Een ellips ontstaat door een cirkel in één richting met een vaste factor te contraheren, zoals bij orthogonale projectie van een schuin geplaatste cirkel.

Eigenschappen

Excentriciteit

De excentriciteit e van de ellips met halve assen a en b is gedefinieerd als:

${\displaystyle e={\sqrt {1-{b^{2} \over a^{2}}}}}$

Brandpunten

De afstand tussen een brandpunt en het middelpunt is:

${\displaystyle c={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}$

Er geldt ook:^[1]

${\displaystyle c=a\cdot e}$

De raaklijn is buitenbissectrice van hoek brandpunt-raakpunt-brandpunt

Raaklijn

Een raaklijn in een punt aan een ellips is de buitenbissectrice van de hoek brandpunt-raakpunt-brandpunt.

Oppervlakte

De oppervlakte A van een ellips met halve lange as a en halve korte as b wordt gegeven door:

${\displaystyle A=\pi ab}$

Omtrek

Ellipsen met gelijke omtrek

Voor de omtrek van een ellips bestaat geen uitdrukking in elementaire functies. De omtrek kan voorgesteld worden als integraal, die daarom ook elliptische integraal heet. Voor de ellips met als parametervergelijking

${\displaystyle x=a\cos(t),y=b\sin(t)}$,

wordt de omtrek ${\displaystyle O}$ gegeven door

${\displaystyle {\begin{aligned}O&=\int \limits _{0}^{2\pi }{\sqrt {\left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}+\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}}}\,\mathrm {d} t\\&=4a\int \limits _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {\sin ^{2}(t)+\left({\frac {b}{a}}\right)^{2}\cos ^{2}(t)}}\,\mathrm {d} t\\&=4a\int \limits _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {1-e^{2}\cos ^{2}(t)}}\,\mathrm {d} t\\&=4a\int \limits _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}(t)}}\,\mathrm {d} t=4a\,\mathrm {E} (e)\end{aligned}}}$

Daarin is ${\displaystyle \mathrm {E} }$ een elliptische integraal van de tweede soort, hier dalend van ${\displaystyle \pi /2}$ voor ${\displaystyle e=0}$ (lengte van een kwart van de eenheidscirkel) tot ${\displaystyle 1}$ voor ${\displaystyle e=1}$ (lengte van een kwart van de omtrek van een ontaarde ellips die bestaat uit een dubbel doorlopen lijnstuk van lengte 2).

Srinivasa Ramanujan geeft twee goede benaderingen voor de omtrek in §16 van "Modular Equations and Approximations to ${\displaystyle \pi }$";^[2] namelijk:

${\displaystyle C\approx \pi \left(3(a+b)-{\sqrt {(3a+b)(a+3b)}}\right)=\pi \left(3(a+b)-{\sqrt {10ab+3\left(a^{2}+b^{2}\right)}}\right)}$

en

${\displaystyle C\approx \pi (a+b)\left(1+{\frac {3h}{10+{\sqrt {4-3h}}}}\right)}$

waarin ${\displaystyle h=(a-b)^{2}/(a+b)^{2}}$

De fouten in deze benaderingen zijn respectievelijk in de orde van ${\displaystyle h^{3}}$ en ${\displaystyle h^{5}}$.

Vergelijkingen

Middelpuntsvergelijking

De wiskundige vergelijking voor de ellips met als middelpunt het punt ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ als halve lange (horizontale) as ${\displaystyle a}$ en als halve korte (verticale) as ${\displaystyle b}$ is in het ${\displaystyle xy}$-assenstelsel:

${\displaystyle \left({\frac {x-x_{0}}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y-y_{0}}{b}}\right)^{2}=1}$

Als het middelpunt van de ellips de oorsprong is, vereenvoudigt zich dit tot:

${\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1}$

(Voor de afleiding uit de eerder vermelde definitie van een ellips, zie onder.)

In poolcoördinaten t.o.v. middelpunt

${\displaystyle r(\theta )={\frac {ab}{\sqrt {(b\cos \theta )^{2}+(a\sin \theta )^{2}}}}}$

In poolcoördinaten t.o.v. een brandpunt

Lange as horizontaal, linker brandpunt als pool, met excentriciteit ${\displaystyle e}$

${\displaystyle r(\theta )={\frac {a(1-e^{2})}{1-e\cos \theta }}\quad {\text{met}}\quad 0\leq \theta <2\pi }$

In iets algemenere vorm van een ellips met één brandpunt als pool en de andere in een hoek ${\displaystyle \phi }$ ten opzichte van de oorsprong:

${\displaystyle r(\theta )={\frac {a(1-e^{2})}{1-e\cos(\theta -\phi )}}}$

(Zie ook de poolvergelijking van een kegelsnede.)

Parametervergelijking

De parametervergelijking voor de ellips met als middelpunt het punt ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ als halve lange (horizontale) as ${\displaystyle a}$ en als halve korte (verticale) as ${\displaystyle b}$ luidt:

${\displaystyle x(t)=x_{0}+a\cos(t)}$

${\displaystyle y(t)=y_{0}+b\sin(t)}$

Constructie van een ellips

Tuinmansellips

Een ellips kan als volgt worden getekend:

1. Druk twee punaises in de brandpunten, of sla twee spijkers in een plank.
2. Maak een lus van een draadje en leg die lus rond de punaises.
3. Zet een potlood tegen het draadje aan en trek het strak.
4. Teken met het potlood de ellips. Zorg er daarbij voor dat het draadje strak blijft.

Het draadje zorgt ervoor dat de som van de afstand tot de brandpunten vanaf elk punt van de ellips constant is, namelijk gelijk aan de lengte van het draadje minus de afstand tussen de punaises.

Het op deze wijze construeren van een ellips wordt ook wel tuinmansellips genoemd, omdat zo de randen van ellipsvormige perken worden aangelegd, uiteraard met piketten in plaats van punaises. Deze methode is in de praktijk onnauwkeurig. Varianten op de tuinmansmethode kunnen gebruikt worden om diverse ovalen te construeren.

Indien de gewenste afmetingen van het perk ${\displaystyle 2a\times 2b}$ zijn, lange as bij korte as, waarbij ${\displaystyle a>b}$ wordt verondersteld, leidt dit tot de volgende afstand tussen de piketten:

Ellipspasser

${\displaystyle 2{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}=2c}$

De lengte van de draad – de lus – rond de piketten is dus gelijk aan ${\displaystyle 2a+2c}$.

Ellipspasser

De Nederlandse wiskundige Frans van Schooten bedacht in de 17e eeuw twee typen ellipspassers. De gebruikelijkste is een kruisvormige, de andere hanteert een variant van de tuinmansmethode. Van de bekende ellipsconstructies die met eenvoudige mechanische middelen te maken zijn, is de kruisvormige passer in de praktijk de nauwkeurigste.

Constructie van Graves

Zie Constructie van Graves voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Bij een gegeven ellips kan met een lus van draad, langer dan de omtrek van de gegeven ellips, een nieuwe ellips geconstrueerd worden: span met een potlood de lus strak om de ellips en teken zo rondgaand de nieuwe figuur. Er ontstaat een tweede ellips met dezelfde brandpunten als de gegeven ellips. Dit is de constructie van Graves.

Constructie uitgaande van de parametervergelijking

Constructie met parametervergelijking

Een andere manier om een ellips te tekenen gaat uit van de ingeschreven en omgeschreven cirkel en de parametervergelijking. De straal (radius) van de omgeschreven cirkel is gelijk aan de halve lange as ${\displaystyle a}$ van de ellips, en die van de ingeschreven cirkel is gelijk aan de halve korte as ${\displaystyle b}$ van de ellips. Deze cirkels zijn concentrisch; zij hebben hetzelfde middelpunt. Trek nu vanuit het middelpunt van de cirkels een gemeenschappelijke straal naar buiten toe (zie animatie, in het rood). Vanuit het punt waar die straal de ingeschreven cirkel snijdt, trek je een lijn naar buiten toe (fig.: goud) en evenwijdig met de lange as van de te bekomen ellips, en waar de straal de omgeschreven cirkel snijdt, trek je een lijn naar binnen toe en evenwijdig met de korte as van de te bekomen ellips. Waar beide lijnen elkaar snijden, bevindt zich een nieuw punt van de ellips (fig.: groen).

Afleiding van de vergelijking

Ellips :${\displaystyle a>0}$ :${\displaystyle 0\leq c<a}$ :${\displaystyle c^{2}=a^{2}-b^{2}}$ :${\displaystyle r_{1}+r_{2}=2a}$

De nevenstaande figuur laat een ellips zien met middelpunt in de oorsprong en de lange as langs de x-as. De halve lange as is ${\displaystyle a}$ en de halve korte as ${\displaystyle b.}$ Een punt ${\displaystyle P=(x,y)}$ op de ellips heeft de afstanden ${\displaystyle r_{1}}$ en ${\displaystyle r_{2}}$ tot de respectievelijke brandpunten ${\displaystyle F_{1}}$ en ${\displaystyle F_{2}}$, die op een afstand ${\displaystyle c}$ van het middelpunt liggen.

Voor ${\displaystyle P=(0,b)}$ op de positieve y-as geldt volgens de stelling van Pythagoras:

${\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}}$

waaruit de formule voor de afstand van brandpunt tot middelpunt volgt:

${\displaystyle c={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}$

Voor de afstanden ${\displaystyle r_{1}}$ en ${\displaystyle r_{2}}$ geldt volgens Pythagoras:

${\displaystyle r_{1}^{2}=(x+c)^{2}+y^{2}}$

en

${\displaystyle r_{2}^{2}=(x-c)^{2}+y^{2}}$

zodat:

${\displaystyle r_{1}^{2}-r_{2}^{2}=4cx}$

Nu is

${\displaystyle r_{1}^{2}-r_{2}^{2}=(r_{1}+r_{2})(r_{1}-r_{2})}$

volgens de definitie van een ellips geldt voor de som:

${\displaystyle r_{1}+r_{2}=2a}$

zodat voor het verschil geldt:

${\displaystyle r_{1}-r_{2}=2{\frac {c}{a}}x}$

Oplossen levert:

${\displaystyle r_{1}=a+{\frac {c}{a}}x}$ en ${\displaystyle r_{2}=a-{\frac {c}{a}}x}$

Daaruit volgt weer:

${\displaystyle r_{1}^{2}+r_{2}^{2}=2a^{2}+2{\frac {c^{2}}{a^{2}}}x^{2}}$

Anderzijds geldt:

${\displaystyle r_{1}^{2}+r_{2}^{2}=(x+c)^{2}+(x-c)^{2}+2y^{2}=2x^{2}+2c^{2}+2y^{2}}$

zodat:

${\displaystyle a^{2}+{\frac {c^{2}}{a^{2}}}x^{2}=x^{2}+c^{2}+y^{2}}$

of anders geschreven:

${\displaystyle a^{2}-c^{2}={\frac {a^{2}-c^{2}}{a^{2}}}x^{2}+y^{2}}$

Omdat ${\displaystyle b^{2}=a^{2}-c^{2}}$ volgt:

${\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1}$

Uit deze berekeningen volgt dat voor een punt ${\displaystyle P=(x,y)}$ op de ellips de coördinaten voldoen aan de vergelijking

${\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1}$

Omgekeerd kan men aantonen dat als voor een willekeurig punt ${\displaystyle P=(x,y)}$ de coördinaten voldoen aan die vergelijking, het punt ${\displaystyle P}$ noodzakelijk op die ellips ligt.

Conclusie: de vergelijking van die ellips is

${\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1}$

Bollen van Dandelin

Bollen van Dandelin

Dat deze meetkundige plaats inderdaad een kegelsnede is, kan worden ingezien met de bollen van Dandelin, genoemd naar Germinal Pierre Dandelin, waar gebruik wordt gemaakt van het feit dat alle raaklijnen vanuit een punt aan een bol even lang zijn. De bollen die in de kegel zijn geplaatst, raken de ellips in de brandpunten (zie figuur).

Zie ook

• Ellipsoïde (omwentelingslichaam van een ellips)
• Kegelsnede
• Superellips
• Slakstructuur (Architectuur/Stedenbouw)
• Pseudo-ellips
• Eerste wet van Kepler: een planeet beschrijft een ellipsbaan rond de zon
• Ovaal

Externe link

• Omtrek en oppervlakte van een ellips
• (en) Bereken de omtrek van een ellips

Bronnen, noten en/of referenties

1. Bewijs van deze relatie: ${\displaystyle a\cdot e=a{\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}={\sqrt {a^{2}-a^{2}\cdot {\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}=c}$.
2. Ramanujan, Srinivasa (1914). Modular Equations and Approximations to π. Quart. J. Pure App. Math. 45: 350-372.

Mediabestanden

Zie de categorie Ellipses van Wikimedia Commons voor mediabestanden over dit onderwerp.