Loading AI tools
Van Wikipedia, de vrije encyclopedie
In de wiskunde is een dirichlet-L-reeks een functie van de vorm
Hier is een dirichlet-karakter en een complexe variabele met een reëel deel groter dan 1. Door analytische voortzetting kan deze functie worden uitgebreid tot een meromorfe functie op het gehele complexe vlak. De zo ontstane dirichlet-L-functie wordt aangegeven door .
Deze functies zijn genoemd naar Johann Dirichlet, die de dirichlet-L-functie in 1837 introduceerde om de ook zijn naam dragende stelling over priemgetallen in rekenkundige rijen te bewijzen. In het verloop van dit bewijs laat Dirichlet zien dat ongelijk aan nul is voor . Als principaal is, d.w.z. de enige waarden op de gehele getallen zijn 0 en 1, heeft de overeenkomstige dirichlet-L-functie een enkelvoudige pool in .
Als een primitief karakter is met , liggen de enige nulpunten van met in de negatieve even gehele getallen.
Als een primitief karakter is met , liggen de enige nulpunten van met in de negatieve oneven gehele getallen.
Net als voor de riemann-zèta-functies bestaan er voor dirichlet-L-functies op siegel-nulpunten na, nulpuntvrije gebieden inclusief en voorbij de lijn ; bijvoorbeeld daar waar een niet-reëel karakter van modulus heeft, geldt dat
waarin een niet-reëel nulpunt is.[1] Dat maakt dat er een siegel-nulpunt zou kunnen bestaan.
Net zoals men van de riemann-zèta-functie aan de riemann-hypothese voldoet, zo wordt vermoed dat de dirichlet-L-functies aan de gegeneraliseerde riemann-hypothese voldoen.
Aangezien een dirichlet-karakter volledig multiplicatief is, kan haar L-functie ook worden geschreven als een euler-product in het halfvlak van absolute convergentie:
waarin het product over alle priemgetallen is.[2]
Stel dat een primitief karakter is met betrekking tot de modulus . Onder de definitie
waarin de gammafunctie aangeeft en het symbool wordt gegeven door
heeft men dan de functionaalvergelijking
Hier schrijven wij voor de Gauss-som
Merk op dat .
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.