![cover image](https://wikiwandv2-19431.kxcdn.com/_next/image?url=https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a6/Rubik%2527s_cube.svg/langml-640px-Rubik%2527s_cube.svg.png&w=640&q=50)
ഗ്രൂപ്പ്
From Wikipedia, the free encyclopedia
ഒരു ഗണവും ആ ഗണത്തിലെ ഏത് രണ്ട് അംഗങ്ങളെയും കൂട്ടിച്ചേർത്ത് അതേ ഗണത്തിലെ ഒരംഗത്തിനെത്തന്നെ തരുന്ന ദ്വയാങ്കസംക്രിയയും ചേർന്ന ബീജീയഘടനയെയാണ് ഗണിതത്തിൽ ഗ്രൂപ്പ് എന്ന് വിളിക്കുന്നത്. ഈ വിധത്തിൽ ഒരു ഗണവും സംക്രിയയും ചേർന്ന ജോഡി ഒരു ഗ്രൂപ്പ് ആകണമെങ്കിൽ, ഇവ ഗ്രൂപ്പ് സ്വയംപ്രമാണങ്ങൾ എന്ന പേരുള്ള നാല് വ്യവസ്ഥകൾ അനുസരിക്കേണ്ടതുണ്ട്. സംവൃതിനിയമം, സാഹചര്യനിയമം, തൽസമകത്തിന്റെ അസ്തിത്വം, വിപരീതത്തിന്റെ അസ്തിത്വം എന്നിവയാണ് ഈ ഗ്രൂപ്പ് സ്വയംപ്രമാണങ്ങൾ. പലതരം സംഖ്യാവ്യവസ്ഥകളുൾപ്പെടെ, ഗണിതത്തിലെ സുപരിചിതങ്ങളായ പല വ്യൂഹങ്ങളും ഈ സ്വയംപ്രമാണങ്ങൾ അനുസരിക്കുന്നു. പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഗണവും സുപരിചിതമായ സങ്കലനം എന്ന സംക്രിയയും ചേർന്ന ബീജീയഘടന ഗ്രൂപ്പിന് ഉദാഹരണമാണ്. ഒരു പ്രത്യേക ഗണിതവ്യൂഹത്തെ മനസ്സിൽ കാണാതെ അമൂർത്തമായ രീതിയിൽ സ്വയംപ്രമാണങ്ങൾ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നതിനാൽ ബീജഗണിതത്തിലെയും ഗണിതത്തിലെ മറ്റ് ശാഖകളിലെയും നന്നേ വ്യത്യസ്തങ്ങളായ പലതരം ഗണിതരൂപങ്ങളെ അവയുടെ പ്രധാന ഘടനാഗുണങ്ങൾ നഷ്ടപ്പെടുത്താതെതന്നെ ഒരേപോലെ കൈകാര്യം ചെയ്യാൻ ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തത്തിന് സാധിക്കുന്നു. ഗണിതത്തിലും വിവിധ ശാസ്ത്രവിഷയങ്ങളിലും ഗ്രൂപ്പുകൾ പലയിടത്തും പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നതിനാൽ ആധുനിക ഗണിതത്തിലെ കേന്ദ്ര ആശയങ്ങളിലൊന്നാണ് ഗ്രൂപ്പുകൾ.[1][2]
![Thumb image](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a6/Rubik%27s_cube.svg/320px-Rubik%27s_cube.svg.png)
സമമിതി എന്ന ആശയവുമായി ഗ്രൂപ്പുകൾക്ക് അടിസ്ഥാനപരമായ ബന്ധമുണ്ട്. ഒരു ജ്യാമിതീയവസ്തുവിന്റെ സമമിതികളെ അതിന്റെ സമമിതിഗ്രൂപ്പുപയോഗിച്ച് വിശദീകരിക്കാൻ സാധിക്കും : ഈ ഗ്രൂപ്പിലെ അംഗങ്ങൾ ജ്യാമിതീയവസ്തുവിന്റെ വ്യത്യാസമില്ലാതെ നിലനിർത്തുന്ന രൂപാന്തരണങ്ങളും സംക്രിയ രണ്ട് രൂപാന്തരണങ്ങളെ ഒന്നിനുപിന്നാലെ ഒന്നായി പ്രയോഗിക്കലുമാണ്. സമമിതിഗ്രൂപ്പുകളായ ലീ ഗ്രൂപ്പുകൾക്ക് കണികാഭൗതികത്തിലെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് മോഡലിൽ ഉപയോഗമുണ്ട്. രസതന്ത്രത്തിൽ തന്മാത്രകളുടെ സമമിതി വിവരിക്കാൻ പോയിന്റ് ഗ്രൂപ്പുകൾ സഹായിക്കുന്നു. സാമാന്യ ആപേക്ഷികതയുടെ അടിസ്ഥാനപരമായ സമമിതി വിശദീകരിക്കുന്നത് പോങ്കാരെ ഗ്രൂപ്പുകളെ ഉപയോഗിച്ചാണ്.
ബഹുപദസമവാക്യങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനങ്ങളിൽ നിന്നാണ് ഗ്രൂപ്പ് എന്ന ആശയം ഉരുത്തിരിഞ്ഞത്. 1830-കളിൽ ഇവാരിസ്റ്റെ ഗാൽവ ആണ് ഇതിന് തുടക്കം കുറിച്ചത്. ജ്യാമിതി, സംഖ്യാസിദ്ധാന്തം എന്നിവയുൾപ്പെടെയുള്ള മറ്റ് ഗണിതശാഖകളിൽ നിന്നുള്ള സംഭാവനകളോടെ വികസിച്ച ആശയം 1870 ആയപ്പോഴേക്ക് പൂർണ്ണത നേടി. ഗ്രൂപ്പുകളെ അമൂർത്തമായ രിതിയിൽ പഠിക്കുന്ന ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തം ഇന്ന് ഗണിതത്തിൽ കാര്യമായി ഗവേഷണം നടക്കുന്ന ശാഖയാണ്. ഗ്രൂപ്പുകളെ സമഗ്രമായി പഠിക്കുന്നതിൽ സഹായിക്കാനായി ഗണിതജ്ഞർ അവയെ ഉപഗ്രൂപ്പുകൾ, ഘടകഗ്രൂപ്പുകൾ, ലളിതഗ്രൂപ്പുകൾ എന്നിങ്ങനെ ചെറിയ കഷണങ്ങളാക്കി ഭാഗിക്കാനുള്ള രീതികളും കണ്ടെത്തിയിട്ടുണ്ട്. അമൂർത്തമായ സ്വഭാവസവിശേഷതകൾക്കുപുറമെ പ്രത്യേക ഗ്രൂപ്പുകളെ മൂർത്തമായി സൂചിപ്പിക്കുന്നതിന്റെ വിവിധ രീതികളെക്കുറിച്ച് പ്രാതിനിധ്യസിദ്ധാന്തം, കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തം എന്നീ വിഷയങ്ങളിലും ഗവേഷണങ്ങൾ നടക്കുന്നു. പരിബദ്ധഗ്രൂപ്പുകളെ സംബന്ധിച്ച് പ്രത്യേകിച്ചും വളരെയധികം ഗവേഷണങ്ങൾ നടന്നിട്ടുള്ളതാണ്. ഇത് 1983-ൽ പരിബദ്ധ ലളിതഗ്രൂപ്പുകളുടെ വർഗ്ഗീകരണം കണ്ടുപിടിക്കുന്നതിലേക്ക് നയിച്ചു. ഇതിനുശേഷം 1980-കളുടെ മധ്യം മുതൽ ജ്യാമിതീയ ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തം ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തത്തിലെ വളരെ സക്രിയമായ ഒരു ശാഖയായിമാറിയിട്ടുണ്ട്.