Исказ (математика)

Во математиката, исказ е реченица која или е вистинита или е невистинита (исклучиво).^[1][2]

Примери:

• Реченицата: „Бројот 3 е непарен број.“ е исказ и таа е вистинита.
• Реченицата: „Бројот 3 е убав број.“ не е исказ, бидејќи за некој таа е вистинита (точна), а за некој е невистинит. Вистинитоста на оваа реченица зависи од оној кој ја чита.
• Реченицата: „Бројот 2 е непарен број.“ е исказ бидејќи таа е невистинита.

Отворен исказ

Отворен исказ или исказна функција е реченица со променлива која станува исказ кога за променливата ќе се замени конкретна вредност од некое множество.^[3] Оваа дефиниција може да се обопшти за повеќе променливи.

Примери:

• Реченицата: x-2≥5 е отворен исказ. Еден можен исказ тука би бил: „За x=10, x-2≥5.“ (Овој исказ е вистинит.)
• Реченицата: а²>b² е отворен исказ со две променливи. Еден можен исказ тука би бил, „За a=b, а²>b².“ (Овој исказ е невистинит.)

Отворени искази се користат во многу дисциплини. На пример:

• Во математиката: Функцијата, односно равенката на праватаа: y=2x-1 е отворен исказ кој е вистинит за сите точки (x,y) кои „лежат“ на правата.
• Во програмирањето: Условот: If(x>x*x). Изразот по условот If, т.е.(x>x*x) e отворен изказ кој е вистинит за сите вредности х каде што x>x², односно x такви што 0<x<1.
• Во работни табели како Excel^® и Calc^®: Формулата: =A1<>"Пеце" e отворен изказ кој е невистинит само ако ќелијата А1 го содржи текстот „Пеце“.

Искази и теореми

Исказите во теориската математика обично се нарекуваат теореми (пропозиции или тврдења) и треба да се докаже нивната логичка вредност, т.е. дали се вистинити или невистинити (види теорема).

Пример: Нека a и b се должините на катетите, а c е должината на хипотенузата на еден правоаголен триаголник. Тогаш a²+b²=c² е исказ, т.н. Питагорова теорема која може да се докаже дека е вистинита.

Булова алгебра за искази

За работење со искази се користи т.н. Булова алгебра и Буловите логички симболи.

Симболи за логичка вредност	текст	програмирање	Геогебра[4]	Excel®[5]
логички „вистинит“	${\displaystyle \top }$	1	true	TRUE
логички „невистинит“	${\displaystyle \bot }$	0	false	FALSE

Логички споредби

Искази можат да бидат едноставни споредби на броеви, т.е. реченици со еднаквост, нееднаквост, поголемо, поголемо или еднакво, помало или помало или еднакво. Како што е типично во математичко образование - објаснуваме со (чисти) искази, но во живот споредби најчесто се прават со отворени искази (искази со променливи). Ова претставува проблем само кај споредба за еднаквост каде што даваме додатно објаснување.

• Реченицата: 5≥4 е исказ.
  • Кога ја бараме нејзината логичка вредност, читаме: Дали е 5 поголемо или еднаково на 4? и пишуваме одговор: Да. или Вистинита. или математички: (5≥4)=⊤.
  • Програмски имаме: (5>=4) има вредност 1.

${\displaystyle (5\geq 4)=\top }$

• Реченицата: 5<4 е исказ.
  • Кога ја бараме нејзината логичка вредност, читаме: Дали е 5 помало од 4? и пишуваме одговор: Не. или Невистинита. или математички: (5<4)=⊥.
  • Програмски имаме: (5<4) има вредност 0.

${\displaystyle (5<4)=\bot }$

• Реченицата: 5≠4 е исказ.
  • Кога ја бараме нејзината логичка вредност, читаме: Дали е 5 нееднако на 4? и пишуваме одговор: Да. или Вистинита. или математички: (5≠4)=⊤.
  • Програмски имаме: (5!=4) има вредност 1.

${\displaystyle (5\not =4)=\top }$

• Реченицата: 5=4 е исказ.
  • Кога ја бараме нејзината логичка вредност, читаме: Дали е 5 еднаково на 4? и пишуваме одговор: Не. или Невистинита. или математички: (5=4)=⊥.
  • Програмски имаме: (5==4) има вредност 0.

${\displaystyle (5=4)=\bot }$   или   ${\displaystyle (5{\stackrel {?}{=}}4)=\bot }$

Забелешка: Честопати, логичка споредба за еднаквост специјално се означува, т.е. не се користи само знакот за еднаквост! Во другите логички споредби непосредно се користи соодветниот споредбен оператор, т.е. едноставно во исказ или во отворен исказ се користи знакот за поголемо, поголемо или еднакво, помало, помало или еднакво или нееднакво. Тоа е бидејќи е релативно јасно - дури и кога се отворени искази - дека овие реченици се споредбени искази и дека се бара нивна логичка (Булова) вредност.

• Реченицата х>3 е отворен исказ каде што се праша дали (тековната) вредност на променливата х е поголема од 3.
• Реченицата x=3 ја доделува вредноста 3 на променливата х, т.е. оваа реченица не е исказ.

За да се разликува доделувањето од споредувањето честопати во текстови се користи знакот ≟, т.е. знак за еднаквост со прашалник над него^[6], а во програмирање се користи знакот ==, т.е. два знаци за еднаквост.

• Реченицата x≟3 не се доделува вредност, туку е отворен исказ каде што се праша дали (тековната) вредност на x е еднаква на 3.

Симбол за споредба	текст	програмирање	Геогебра	Excel®
„поголем“	${\displaystyle >}$	>	>	>
„поголем или еднаков“	${\displaystyle \geq }$	>=	≥ или >=	>=
„помало“	${\displaystyle <}$	<	<	<
„помало или еднаков“	${\displaystyle \leq }$	<=	≤ или <=	<=
„нееднакво“	${\displaystyle \not =}$	!=	≠ или !=	<>
„еднакво“	${\displaystyle =}$ или ${\displaystyle {\stackrel {?}{=}}}$	==	≟ или ==	=

Логички оператори

Бидејќи искази се реченици кои имаат логичка или Булова вредност^[7], т.е. секој исказ е или вистинит или невистинит, може да се користат Булови оператори, односно логички оператори со нив. Секој од овие оператори има свој математички симбол и соодветна табела на вредности.

• Главните три логички оператори се: негација, логички „и“ и логички „или“.

Симбол за логички оператори	текст	програмирање	Геогебра	Excel®
„негација“	${\displaystyle \neg }$	!	not	NOT
логички „и“	${\displaystyle \land }$	&&	and	AND
логички „или“	${\displaystyle \lor }$	∣∣	or	OR

Негација

Негација е унарен оператор на исказ.

• Булов симбол за негација е ¬ и одговара на поимот „комплемент“ од теоријата на множества.
• Во повеќето програмски јазици, симбол за негација е „!“.

Нека р е исказ. (Унарен значи дека треба само еден исказ.)

Неформално, логичката вредност на ¬p е обратната вредност од логичката вредност на p.

Пример: Нека p=(5>4). Тогаш p=⊤, а логичката вредност на ¬p=⊥. Накратко се пиши ¬(5>4)=⊥.

Табела вредности за операторот: Негација
Ако ${\displaystyle p}$		Тогаш ${\displaystyle \neg p}$	Со зборови
${\displaystyle \top }$		${\displaystyle \bot }$	Ако p е вистинат исказ, тогаш ¬p е невистинат исказ.
${\displaystyle \bot }$		${\displaystyle \top }$	Ако p е невистинат исказ, тогаш ¬p е вистинат исказ.

Логички „и“

Логички „и“ е логичка конјункција и е бинарен оператор на искази.

• Булов симбол за логички „и“ е ⋀ и одговара на поимот „пресек“ ∩ од теоријата на множества и по значење и по образ.
• Во повеќето програмски јазици, симбол за логички „и“ е „&&“.

Нека p и q се искази. (Бинарен значи дека треба два искази.)

Неформално, исказот p⋀q е вистинит само ако и p е вистинит и q е вистинит, т.е. двата искази се вистинити. 

Пример: Нека p=(5>4) и q=(5-1≠4) Тогаш p=⊤, а q=⊥. Следува (p⋀q)=⊥.

Оператор: ${\displaystyle \land }$   (и)
Ако ${\displaystyle p}$	Ако ${\displaystyle q}$		Тогаш ${\displaystyle p\land q}$
${\displaystyle \top }$	${\displaystyle \top }$		${\displaystyle \top \land \top =\top }$
${\displaystyle \bot }$	${\displaystyle \top }$		${\displaystyle \bot \land \top =\bot }$
${\displaystyle \top }$	${\displaystyle \bot }$		${\displaystyle \top \land \bot =\bot }$
${\displaystyle \bot }$	${\displaystyle \bot }$		${\displaystyle \bot \land \bot =\bot }$

Логичко „или“

Логичкото „или“ е бинарен оператор за искази познат уште како логичка дисјункција.

• Симболот за логичко „или“ е ⋁ и одговара на поимот „унија“ ∪ во теоријата на множества и по значење и по изглед.
• Во повеќето програмски јазици, симбол за логичкото „или“ е ||

Нека p и q се искази. (Бинарен значи дека спојува два исказа.)

Неформално, исказот p⋁q е вистинит ако или p е вистинит или q е вистинит или и двата исказа се вистинити.

Пример: Нека p=(5>4) и q=(5-1≠4) Тогаш p=⊤, а q=⊥. Следува (p⋁q)=⊤.

Оператор: ${\displaystyle \lor }$   (или)
Ако ${\displaystyle p}$	Ако ${\displaystyle q}$		Тогаш ${\displaystyle p\lor q}$
${\displaystyle \top }$	${\displaystyle \top }$		${\displaystyle \top \lor \top =\top }$
${\displaystyle \bot }$	${\displaystyle \top }$		${\displaystyle \bot \lor \top =\top }$
${\displaystyle \top }$	${\displaystyle \bot }$		${\displaystyle \top \lor \bot =\top }$
${\displaystyle \bot }$	${\displaystyle \bot }$		${\displaystyle \bot \lor \bot =\bot }$

Формална логика

За комплетност, објаснуваме уште два бинарни оператори на искази кои се користат само во формална логика, а во кои се користи терминологија која има различно значење во обичната математика. За да не дојде до заблуда, најпрво се објаснува обичното значење на терминологијата.

Импликација: Во обична математика^[8], најчесто се користи зборот „имплицира“ како зврзувачки збор. На пример, А имплицира B го има значењето „Ако условот А е исполнет, тогаш условот В е исполнет.“ Пишуваме

${\displaystyle A\Rightarrow B}$.

Пример: Ако a>b тогаш a≥b, односно:

${\displaystyle a>b\Rightarrow a\geq b}$.

Меѓутоа, во формална логика импликација се дефинира како оператор меѓу два искази со следната табела на вредности.

Формален оператор: ⇒
Ако p	Ако q		Тогаш p⇒q
${\displaystyle \top }$	${\displaystyle \top }$		${\displaystyle \top \Rightarrow \top =\top }$
${\displaystyle \bot }$	${\displaystyle \top }$		${\displaystyle \bot \Rightarrow \top =\top }$
${\displaystyle \top }$	${\displaystyle \bot }$		${\displaystyle \top \Rightarrow \bot =\top }$
${\displaystyle \bot }$	${\displaystyle \bot }$		${\displaystyle \bot \Rightarrow \bot =\bot }$

Еквиваленција: Во математиката^[9], најчесто се користи изразот „е еквивалентно со“ како зврзувачки израз. На пример: А е еквиваленто со B го има значењето „Условот А е исполнет ако и само ако условот В е исполнет.“ Пишуваме

${\displaystyle A\Leftrightarrow B}$.

Пример: a>b ако и само ако b≤a

${\displaystyle a>b\Leftrightarrow b\leq a}$

Пример: Еден четириаголник е квадрат ако и само ако неговите дијагоналите се складни и се сечат под прав агол.

(Еден четириаголник е квадрат.) ⇔ (Дијагоналите на еден четириаголник се складни и се сечат под прав агол.)

Меѓутоа, во формална логика еквиваленција се дефинира како оператор меѓу два искази со следната табела на вредности.

Формален оператор: ⇔
Ако p	Ако q		Тогаш p⇔q
${\displaystyle \top }$	${\displaystyle \top }$		${\displaystyle \top \Leftrightarrow \top =\top }$
${\displaystyle \bot }$	${\displaystyle \top }$		${\displaystyle \bot \Leftrightarrow \top =\top }$
${\displaystyle \top }$	${\displaystyle \bot }$		${\displaystyle \top \Leftrightarrow \bot =\top }$
${\displaystyle \bot }$	${\displaystyle \bot }$		${\displaystyle \bot \Leftrightarrow \bot =\bot }$

Наводи

1. Clapham, C.; Nicholson, J. (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics, Statement“ (PDF) (англиски). Addison-Wesley. стр. 747. Посетено на 1 септември 2013.
2. Eccles, Peter (1998). An Introduction to Matematical Reasoning. Cambridge University Press. ISBN 978-0521597180.
3. Roberts, Charles (2009). Introduction to Mathematical Proofs: A Transition (англиски). Chapman and Hall. стр. 47. ISBN 1420069551.
4. Geogebra Institute и Институт за Геогебра на МКД (превод) (2013). „Булова вредност“. Посетено на 1 септември 2013.
5. French, Ted. „Excel IF Function Step by Step Tutorial“ (англиски). Посетено на 1 септември 2013.
6. „Question mark (in Mathematics)“ (англиски). Wikipedia. Посетено на 1 септември 2013.
7. Clapham, C.; Nicholson, J. (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics, Boolean“ (PDF) (англиски). Addison-Wesley. стр. 99. Посетено на 1 септември 2013.
8. Weisstein, Eric W. (2013). „Импликација“ (англиски). Math World- A Wolfram Web Resource. Посетено на 1 септември 2013.
9. Weisstein, Eric W. (2013). „Еквиваленција“ (англиски). Math World- A Wolfram Web Resource. Посетено на 1 септември 2013.

Поврзани теми

• Теорема
• Негација, Логичка конјункција, Логичка дисјункција
• Типови податоци (програмирање)
• Булова алгебра

Надворешни врски

• Стојановска, Л (2006). „Искази“. Архивирано од изворникот на 2016-03-05. Посетено на 1 October 2013.
• Стојановска, Л (2006). „Логички оператори“. Архивирано од изворникот на 2012-06-03. Посетено на 1 October 2013.
• Geogebra Institute и Институт за Геогебра на МКД (превод) (2013). „Геогебра: Булова вредност“. Посетено на 1 септември 2013.
• „Calc: Logical functions“. Apache Open Office. 2013. Посетено на 1 септември 2013.
• „Excel AND Function“ (англиски). about.com. Посетено на 1 October 2013.
• „Excel OR Function“ (англиски). about.com. Посетено на 1 October 2013.
• Chow, Bennet. „Mathematical Statements and Proofs“ (PDF) (англиски). USCD. Архивирано од изворникот (PDF) на 2017-03-29. Посетено на 1 October 2013.
• „Boolean data type“ (англиски). Wikipedia. Посетено на 1 October 2013.