Раселов парадокс

Канторовата теорија на множествата од крајот на 19 век не била заснована аксиоматски, па затоа се нарекувала наивна теорија на множествата. Меѓутоа таа имплицитно во себе содржела неколку аксиоми од кои една била дека секое својство може да формира множество од сите елементи кои го имаат тоа својство.

Расел во 1907 година

Поаѓајќи од оваа аксиома Бертранд Расел во 1903 година конструирал парадокс, по него наречен Раселов парадокс кој ја оборил наивната теорија на множествата. Тој парадокс може да се искаже на повеќе начини и во повеќе форми, а суштината е следнава:

Ако за секое својство постои множество од сите елементи кои го задоволуваат тоа својство, тогаш „множеството не си припаѓа самото на себе“. Ова својство е многу природно бидејќи е многу тешко да се најде множество кое си припаѓа самото на себе. Со Х нека е обележено множеството на елементи за кои важи ова својство. Дали Х припаѓа самото на себе? Ако припаѓа тогаш значи дека го задоволува својството „множеството не си припаѓа самото на себе“ што е противречност. Ако пак си припаѓа самото на себе, тогаш ќе го задоволува бараното својство, па ќе си припаѓа самото на себе, што повторно е контрадикција.

${\displaystyle V=\{X\mid X\not \in X\}}$

До појавата на овој парадокс се верувало во непобитноста на математичката вистина и непротивречноста на Канторовата теорија на множествата. По Раселовиот парадокс следувала серија други парадокси од кои посебно треба да се издвои Ришаровиот парадокс. Со појавата на овие парадокси математичката градба била сериозно расклатена до самите темели и се заканувала опасност да се сруши. Кризата на математиката била решавана со појава на нови правци (Расел - логицизам, Брауер - интуиционализам, Хилберт - формализам).

Една варијанта на Раселовиот парадокс е: Постојат каталози на книги од библиотека. Тие каталози исто така се сметаат за книги. Некои каталози се содржат себеси, а некои не (во каталогот). Може да се смета дека еден нов каталог во кој се попишани сите каталози кои не се содржат себеси. Дали овој катало се содржи самиот себе? Повторно во двата случаи на анализа се стигнува до противречност.

Едно од можните надминувања на Раселовиот парадокс е множеството на сите множества да не се смета за множество, туку за класа (класа тука е обопштување на поимот множество).