Вртење околу неподвижна оска

Вртење околу неподвижна оска е специјален случај на вртежно движење. Хипотезата на неподвижна оска ја исклучува можноста за оската да ја смени својата ориентација, и не можат да се опишат таквите појави како клатење или прецесија. Според Ојлеровата теорема за вртењето, истовремено вртење заедно со бројот на неподвижните оски не е возможно. Доколку две вртења се принудени да ротираат во исто време, ќе се појави нова оска на вртење.

Сфера која се врти околу една од нејзините пречници.

„Оската на вртење“ пренасочува овде. За математички контекст, видете ја застапеноста на оската-аголот.

Со оваа статија се претпоставува дека вртењето е исто така стабилно, така што не е потребно силата на вртење да се одржи во живот. Кинематиката и динамиката на вртењето околку неподвижна оска на круто тело се математички многу поедноставни од оние за слободно вртење на круто тело; тие се целосно слични со оние на линеарно движење со една неподвижна насока, што не е точно за слободно вртење на круто тело. Изразите за кинетичка енергија на објектот, и за силите на деловите на истиот, исто така постојат поедноставности за вртење околку неподвижна оска, отколку за општи вртежна движења. Поради овие причини, вртењето околу неподвижна оска обично се изучува во воведот на физика, за потоа студентите да имаат совладано линеарното движење; неговата целосна севкупност на вртежно движење обично се споменува во воведните часови по физика.

Објаснување и вртење

Крутото тело е објект со конечна мера во која сите растојанија помеѓу компонентите се константни.Не постои вистинско круто тело;надворешните сили можат да деформираат некој цврст предмет.За наши цели,тогаш, крутото тело е цврсто кое бара голема сила за значително да се деформира.

Промената во позицијата на честичките во три-димензионален простор може да се целосно утврдени со три координати.Промената на позицијата на крутото тело е покомплицирано да се опише.Тоа може да се смета како комбинација на два различни типа на движење:транслаторно движење и вртежно движење.

Чисто транслаторно движење се случува кога секоја честичка од телото има иста моментална брзина како и секоја честичка;а потоа на патеката секоја честичка е паралелна на следната патека од сите други честички во телото.Под транслаторно движење,промената на положбата на круто тело е наведено во целосто тело од страна на три координати како x, y и z давајќи им можност на поместување во било кој момент, како што се на тежиштето, сосредоточено на круто тело.

Чисто вртежно движење се случува ако секоја честичка во телото се движи во круг околу една линија.Оваа линија се нарекува оска на вртење. Тогаш полупречник векторите од оската на сите честички поминуваат истата аголно поместување во исто време. Оската на вртење не треба да се движи низ телото.Во принцип, секое вртење може да биде одредено во целост од страна на три аголни поместувања во однос на правоаголни координатни оски x, y и z.Секоја промена во позицијата на круто тело сосема е опишано од страна на три ранслаторни и три вртежни координати.

Секое поместување на крутото тело може да се добие со првото изложување на телото на поместување проследено со вртење, или обратно, вртење проследено од поместување. Веќе знаеме дека за секоја колекција на честички,мирување во однос еден на друг,како и во круто тело,или во релативно движење,како експлозија на фрагменти од школка, забрзувањето на тежиштето се дадени од страна на

${\displaystyle F_{\mathrm {net} }=Ma_{\mathrm {cm} }\;\!}$

каде M е вкупната маса на системот и a_cmе забрзување на тежиштето. Останува прашањето на опишување на вртење на телото околу тежиштето и се однесуваат на надворешните сили кои дејствуваат на телото.Кинематичкото и динамичкото вртежно движење околу една оска да личат на кинемарика или динамика на транслаторно движење;вртежно движење околу една оска дури има теорема за работна енергија слична на онаа динамика на честички.

Кинематика

Аголно поместување

Главна статијаАголно поместување.

А честичките се движат во круг со полупречник ${\displaystyle {\displaystyle r}}$.Откако ќе се помести на должина на лакот ${\displaystyle {\displaystyle s}}$,неговата аголна позиција е ${\displaystyle \theta }$ во однос на оригиналната положба,каде ${\displaystyle {\displaystyle \theta ={\frac {s}{r}}}}$.

Во математика и физика вообичаено е да се користат природните единица радијани наместо степени или револуции.Едниниците се претвораат на следниов начин:

${\displaystyle 1{\mathrm {\ rev} }=360^{\circ }=2\pi {\mathrm {\ rad} }}$ ,и

${\displaystyle 1{\mathrm {\ rad} }=180^{\circ }/{\pi }\approx 57.3^{\circ }.}$

Аголното поместување е промена во аголна позиција:

${\displaystyle \Delta \theta =\theta _{2}-\theta _{1},\!}$

каде ${\displaystyle {\displaystyle \Delta \theta }}$ е аголно поместување,${\displaystyle {\displaystyle \theta _{1}}}$ е почетна аголна позиција и ${\displaystyle {\displaystyle \theta _{2}}}$ е завршната аголна позиција.

Аголна брзина

Главна статија:Аголна брзина.

Аголна брзина е променлива при аголно поместување во единица време.Симболот за аголна брзина е ${\displaystyle {\displaystyle \omega }}$ и единиците се обично rad s⁻¹.Аголна брзина е големината на аголната брзина.

${\displaystyle {\overline {\omega }}={\frac {\Delta \theta }{\Delta t}}={\frac {\theta _{2}-\theta _{1}}{t_{2}-t_{1}}}.}$

Моментален аголна брзина е утврдена со

${\displaystyle \omega (t)={\frac {d\theta }{dt}}.}$

Користејки ја формулата за аголна позиција и најмување ${\displaystyle {\displaystyle v={\frac {ds}{dt}}}}$,исто така имаме

${\displaystyle \omega ={\frac {d\theta }{dt}}={\frac {v}{r}},}$

каде ${\displaystyle {\displaystyle v}}$ е транслационата брзина на честичките. Аголна брзина и честота се поврзани со

${\displaystyle \omega ={2\pi f}\!}$

Аголно забрзување

Главна статија:Аголно забрзување.

промената на аголната брзина укажува на присуство на аголна забрзување на круто тело,обично се мери во rad s⁻².Просечното аголно забрзување ${\displaystyle {\displaystyle {\overline {\alpha }}}}$ во текот на еден временски интервал Δt е даден од

${\displaystyle {\overline {\alpha }}={\frac {\Delta \omega }{\Delta t}}={\frac {\omega _{2}-\omega _{1}}{t_{2}-t_{1}}}.}$

Моменталното забрзување α(t) е дадено со

${\displaystyle \alpha (t)={\frac {d\omega }{dt}}={\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}.}$

Така, аголното забрзување е стапката на промена на аголната брзина, исто како што забрзувањето е на стапката на промена на брзина. Транслаторното забрзување на точката на вртење на објектот е дадена од страна на

${\displaystyle a=r\alpha ,\!}$

каде што r е полупречникот или растојание од оската на вртење.Ова е исто така тангенцијална компонента на забрзување:тоа е тангентно на правецот на движење на точка.Доколку оваа компонента е 0,предлогот се подеднакви кружни движења,и нема промена на брзината,само насоката. Радијални забрзувања (нормално на правецот на движење) е даден со

${\displaystyle a_{\mathrm {R} }={\frac {v^{2}}{r}}=\omega ^{2}r\!}$

Тој е насочен кон центарот на вртежното движење, и често се нарекува центрипеталнo забрзување.

Аголното забрзување е предизвиканo од вртежниот момент,што може да има позитивна или негативна вредност во согласност со Конвенцијата на позитивна и негативна аголна честотаа.Односот на силата на вртежи и аголното забрзување (колку тешко е да се започне, да застане или на друг начин го промени вртењето) е даден со моментот на инерција: ${\displaystyle T=I\alpha .}$

Равенки на кинематиката

Кога аголното забрзување е константна, петте количини аголни поместувања ${\displaystyle {\displaystyle \theta }}$,почетна аголна брзина ${\displaystyle {\displaystyle \omega _{i}}}$,завршна аголна брзина ${\displaystyle {\displaystyle \omega _{f}}}$,аголно забрзување ${\displaystyle {\displaystyle \alpha }}$,и времето ${\displaystyle {\displaystyle t}}$може да биде поврзано со четири равенки на кинематика:

${\displaystyle \omega _{f}=\omega _{i}+\alpha t\;\!}$

${\displaystyle \theta =\omega _{i}t+{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\alpha t^{2}}$

${\displaystyle \omega _{f}^{2}=\omega _{i}^{2}+2\alpha \theta }$

${\displaystyle \theta ={\tfrac {1}{2}}\left(\omega _{f}+\omega _{i}\right)t}$

Динамика

Момент на инерција

Главна статија:Момент на инерција.

Моментот на инерција на објектот,симболизиран со I,е мерка за отпорноста на објектот за да се промени во своето вртење. Моментот на инерција се мери во килограми metre² (кг м²). Тоа зависи од масата на објектот: зголемување на масата на објектот се зголемува моментот на инерција.Таа, исто така зависи од распределбата на масата: распределбата на маса подалеку од центарот на вртење ја зголемува момент на инерција со повисок степен.За едниствени честички на масата ${\displaystyle {\displaystyle m}}$ растојанието ${\displaystyle r}$ од оската на вртење, до моментот на инерција кој е даден со

${\displaystyle I=mr^{2}.}$

Сила на вртење

Главна статија:Сила на вртење

Силата на вртење ${\displaystyle {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}}$ е извртувачки ефект на силата ${\displaystyle F}$ се применува на ротирачки објект кој е на позиција ${\displaystyle r}$ од нејзината оска на вртење. Maтематички,

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} ,}$

каде × го означува вкрстениот производ.Под чиста сила на вртење на објект,произведува аголно забрзување на објектот според

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=I{\boldsymbol {\alpha }},}$

исто како F = ma во линеарна динамика. Работата на силата на вртење е дејствување на објектот,работа е еднаква на големината на силата на вртење, агол преку кој се применува на силата на вртење:

${\displaystyle W=\tau \theta .\!}$

Моќта на силата на вртење е еднаква на сработеното од страна на силата на вртење по единица време, па оттука:

${\displaystyle P=\tau \omega .\!}$

Аголна динамика

Главна статија:Аголна динамика.

Аголen импулс L е мерка за тежина за добивање на ротирачки објект за одмор. Тоа е дадено од страна на

${\displaystyle {\mathbf {L} }={\mathbf {r} }\times {\mathbf {p} }.}$

Аголната динамика е поврзано со аголната брзина од

${\displaystyle {\mathbf {L} }=I{\boldsymbol {\omega }},}$

исто како што  p = mv во линеарната динамика.

Еднакво на линеарни динамика во вртежна движење е аголната динамика. Колку е поголема аголната динамика на вртење објект како што е врвот, толку е поголема неговата тенденција да продолжи да се врти.

На аголната динамика вртењето на телото е пропорционално со масата и да се колку брзо се врти. Во прилог на аголната динамика зависи од тоа како масовно се распределува во однос на оската на вртење: подалеку од масата се наоѓа од оската на вртење, толку е поголема аголната динамика. А рамен диск како што е рекорд плочата има помалку аголна динамика од шупливи цилиндри на иста маса и брзина на вртење.

Како линеарна динамика, аголната динамика е вектор количина, и зачувување на својот имплицира дека насоката на оската на вртење има тенденција да останае непроменет. За оваа причина врти, врвот останува исправен без оглед на непозвижноста паѓа веднаш.

Равенката на аголната динамика може да се користи и да се однесува на моментот на резултантната сила на тело околу оска (понекогаш се нарекува вртежен момент), стапката на вртење за таа оска.

Силата на вртење и аголната динамика се однесуваат согласно со

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\frac {d{\mathbf {L} }}{dt}},}$

Исто како  F = dp/dt во линеарна динамика.Во отсуство на надворешена сила на вртење, на аголната динамика на телото останува константна. Зачувувањето на аголната динамика се покажа особено во уметничко лизгање: кога влече оружје поблиску до телото за време на спин, во моментот на инерција се намалува, така и аголната брзина е зголемена.

Кинетичка енергија

Кинетичката енергија  K_rot поради вртењето на телото е дадено со

${\displaystyle K_{\mathrm {rot} }={\tfrac {1}{2}}I\omega ^{2},}$

исто како  K_trans =  ¹⁄₂mv² во линеарната динамика.

Вектор на експресија

Погледнете исто така:Евклидов вектор.

Горенаведениот развој е посебен случај на општи вртежни движења. Во општ случај, аголна поместување, аголна брзина, аголното забрзување и силата на вртење се смета дека се вектори.

Аголните поместување се сметаат за вектори, посочувајќи по должината на оската на големина еднаква на онаа на${\displaystyle {\displaystyle \Delta \theta }}$. Правило денес се користи за пронаоѓање на начинот на кој тие точки се по должината на оската; Ако прстите на десната рака се завиткани за да се истакне начинот на кој објектот ротира, а потоа на палецот на десната рака точките во насока на векторот.

Векторот на аголната брзина, исто така, точки по должината на оската на вртење на ист начин како аголните преместувања го предизвикуваат. Ако дискот се врти налево како што се гледа од погоре, својата аголна брзина се вектор точки нагоре. Слично на тоа, аголното забрзување вектор точки по должината на оската на вртење во иста насока,аголната брзина ќе се укаже ако аголното забрзување се одржува долго време.

Точките на векторот на силата на вртење по должината на оската околу која силат ана вртење има тенденција да предизвика вртење. За да се одржи вртење околу постојана оска, вкупната сила на вртежите треба да биде должината на оската, така што со тоа се менува само големината, а не во насока на векторот на аголната брзина. Во случај на завист, само компонента на векторот силата на движења по должината на оската има ефект на вртење, други сили и силите на вртеа се компензираат со структура.

Примери и прилози

Постојана аголна брзина

Главна статија: Еднакви кружни движења.

Наједноставен случај на вртење околу неподвижна оска е на постојана аголна брзина. Тогаш вкупната сила на вртежи е нула. За пример Земјата ротира околу својата оска, има многу малку триење. За вентилатор, моторот се однесува на силата на вртежи да се компензира за триење. На аголот на вртење е линеарна функција на време, што modulo 360 ° периодично функција.

Еден пример за ова е проблем на две тела со кружни орбити.

Центрипетална сила

Главна статија: Центрипеталната сила.

Погледнете исто така:Измислена сила

Стресот на еластичноста ја обезбедува центрипеталната сила која постојано ротира околку објектот заедно.Модел од остро тело ги занемарува придружните вируси. Ако телото не е цврсто овој вирус ќе предизвика тоа да го промени обликот. Ова се изразува како предмет кој менува обликот поради "центрифугална сила".

Небесни тела што ротираат околу себе често имаат овални орбити. Специјалниот случај на кружни орбити е пример на вртење околу неподвижна оска: оваа оска е линијата преку тежиштето под прав агол во однос на рамнината на движење. Центрипеталната сила е обезбедена од страна на гравитацијата,исто така двете тела имаат проблем. Ова обично се важи за вртежи околу вселенско тело, па затоа не треба да биде цврста, освен ако аголна брзина е премногу висока во однос на нејзината густина. (Тие, сепак, ќе имаат тенденција да се сплеснат.) На пример, се врти вселенско тело на вода и мора да трае најмалку 3 часа и 18 минути за да ротира, без оглед на големината. Ако густината на течноста е поголема времето може да биде помало.Погледни го орбиталниот период.