Bernulli likums

Bernulli likums ir fizikas likums hidrodinamikā, kas atspoguļo fluīda (šķidruma vai gāzes) ātruma, statiskā spiediena un potenciālās enerģijas savstarpējo saistību. Tas nosaka, ka kāds no šiem lielumiem var palielināties tikai tad, ja kāds cits no tiem samazinās.^[1] Princips nosaukts Dāniela Bernulli vārdā, kurš to publicēja savā grāmatā Hydrodynamica 1738. gadā.^[2] Lai arī Bernulli pirmais izsprieda, ka, palielinoties plūsmas ātrumam, samazinās spiediens, Bernulli vienādojumu mūsdienu formā pirmais ieguva Leonards Eilers 1752. gadā.^[3][4] Šis likums ir piemērojams tikai izentropiskām (adiabātiskām un atgriezeniskām) plūsmām — tādām, kurās neatgriezeniski procesi un enerģijas apmaiņa ar ārējo vidi rada gana nelielu iespaidu, lai to neņemtu vērā.

Gaisa plūsma caur Venturi cauruli. Šķidruma kolonnu augstumu starpība parāda, ka kinētiskā enerģija palielinās uz spiediena rēķina

Video ar Venturi caurules demonstrāciju

Bernulli vienādojums nesaspiežamām plūsmām

Lielākajā daļā šķidrumu un gāzu plūsmu ar mazu Maha skaitli fluīda blīvumu var uzskatīt par konstantu neatkarīgi no spiediena atšķirībām plūsmā. Tāpēc šķidrumu šādās plūsmās var uzskatīt par nesaspiežamu, un šīs plūsmas sauc par nesaspiežamām plūsmām. Bieži Bernulli vienādojumu patvaļīgam nesaspiežamas plūsmas punktam raksta šādā formā:

${\displaystyle \rho {\frac {v^{2}}{2}}+\rho gh+p=const}$,

kur:

${\displaystyle v}$ ir šķidruma plūsmas ātrums aplūkojamajā punktā,

${\displaystyle g}$ ir brīvās krišanas paātrinājums,

${\displaystyle h}$ ir punkta augstums virs atskaites līmeņa, ${\displaystyle h}$ vērtība pieaug virzienā uz augšu: pretēji gravitācijas virzienam,

${\displaystyle p}$ ir spiediens izvēlētajā punktā, un

${\displaystyle \rho }$ ir šķidruma blīvums visos šķidruma punktos.

Vienādojuma konstantā labās puses vērtība ir atkarīga tikai no izvēlētās plūsmas un ir tā pati jebkuram plūsmas punktam. Savukārt lielumu ${\displaystyle v}$, ${\displaystyle h}$ un ${\displaystyle p}$ vērtības var būt atšķirīgas dažādos šīs plūsmas punktos.

Bernulli vienādojuma izvedums

Plūsma^{[novecojusi saite]} caurulē. Attēlots spiediens ${\displaystyle p_{i}}$, augstums ${\displaystyle h_{i}}$, plūsmas ātrums ${\displaystyle v_{i}}$, šķērsgriezuma laukums ${\displaystyle A_{i}}$ un plūsmas veiktais attālums ${\displaystyle s_{i}}$ (tekstā ${\displaystyle \Delta s_{i}}$) laikā ${\displaystyle \Delta t}$ divos plūsmas punktos (1 un 2). Spiediena ${\displaystyle p_{2}}$radītā spēka attēlotais virziens ir maldinošs. Aplūkojot plūsmu, kas no pirmā punkta ieplūst vietā, kur ir ${\displaystyle p_{2}}$, būtu jāattēlo pretējais — ka spiediens rada spēku pretēji ieplūstošās plūsmas virzienam

Bernulli vienādojumu nesaspiežamām plūsmām var iegūt, izmantojot enerģijas nezūdamības likumu. Mehāniskās enerģijas izmaiņu ${\displaystyle \Delta E=\Delta E_{kin}+\Delta E_{pot}}$ noteiktā laika posmā ${\displaystyle \Delta t}$ rada spiedienu ${\displaystyle p_{1}}$ un ${\displaystyle p_{2}}$ veiktais darbs, t.i.

${\displaystyle \Delta E_{kin}+\Delta E_{pot}=\Delta W_{1}+\Delta W_{2}}$,

kur ${\displaystyle \Delta W_{i}}$ — spiediena ${\displaystyle p_{i}}$padarītais darbs laikā ${\displaystyle \Delta t}$.

Nesaspiežamas plūsmas gadījumā laika sprīdī ${\displaystyle \Delta t}$ caurulē ieplūst tikpat liels šķidruma daudzums, cik izplūst pa otru galu. Apzīmēsim šī šķidruma masu ar ${\displaystyle \Delta m}$ un tilpumu ar ${\displaystyle \Delta V}$.

Šķidruma kinētiskās un potenciālās enerģijas starpības iegūstam, no beigu enerģijas atņemot sākotnējo:

${\displaystyle \Delta E_{kin}={\frac {\Delta mv_{2}^{2}}{2}}-{\frac {\Delta mv_{1}^{2}}{2}}}$;

${\displaystyle \Delta E_{pot}=\Delta mgh_{2}-\Delta mgh_{1}}$.

Spiediens ir spēka virsmai perpendikulārās komponentes attiecība pret laukumu, uz kuru šis spēks darbojas: ${\displaystyle p={\frac {F_{\perp }}{A}}}$. No spiediena nemainības stacionāras plūsmas noteiktā punktā izriet, ka arī spēka virsmai normālā (perpendikulārā) komponente tur ir nemainīga. Laukums ${\displaystyle A}$ izraudzīts tā, ka plūsmas pārvietojums ${\displaystyle s}$ ir tai perpendikulārs, tātad kolineārs spēkam ${\displaystyle F_{\perp }}$. Darbu tad varam atrast kā spēka un pārvietojuma reizinājumu.

${\displaystyle \Delta W_{i}=(F_{\perp })_{i}\Delta s_{i}=p_{i}A_{i}\Delta s_{i}=p_{i}\Delta V}$.

Vienādojumā ${\displaystyle \Delta E_{kin}+\Delta E_{pot}=\Delta W_{1}+\Delta W_{2}}$saliekot uzieto, iegūstam (ievērojiet, ka otrā spiediena veiktais darbs ir negatīvs, jo šis spiediens darbojas pretim plūsmai):

${\displaystyle {\frac {\Delta mv_{2}^{2}}{2}}-{\frac {\Delta mv_{1}^{2}}{2}}+\Delta mgh_{2}-\Delta mgh_{1}=p_{1}\Delta V-p_{2}\Delta V}$

Nogādāsim ar vienu punktu saistītos lielumus vienā, bet pārējos — otrajā vienādības pusē, kā arī izdalīsim abas vienādojuma puses ar ${\displaystyle \Delta V}$. Papildus atminoties blīvuma definīciju ${\displaystyle \rho ={\frac {\Delta m}{\Delta V}}}$ esam ieguvuši:

${\displaystyle \rho {\frac {v_{2}^{2}}{2}}+\rho gh_{2}+p_{2}=\rho {\frac {v_{1}^{2}}{2}}+\rho gh_{1}+p_{1}}$.

Tātad, izteiksmes ${\displaystyle \rho {\frac {v^{2}}{2}}+\rho gh+p}$ vērtība dažādās plūsmas vietās ir viena un tā pati, kas arī ir Bernulli likums.

Skatīt arī

• Hidraulika - šķidrumu mehānikas pielietojumi
• Hidroaeromehānika

Atsauces

1. Visvaldis Branka, Valdis Gaumigs, Pēteris Puķītis. FIZIKA VIDUSSKOLAI. Konspektīvs izklāsts. Apgāds Zvaigzne ABC, 2007. 72–76. lpp. ISBN 978-9984-37-377-5.
2. «Hydrodynamica». Britannica Online Encyclopedia. Skatīts: 2008-10-30.
3. Anderson, J.D. (2016), "Some reflections on the history of fluid dynamics", in Johnson, R.W., Handbook of fluid dynamics (2nd izd.), CRC Press, ISBN 9781439849576
4. Darrigol, O.; Frisch, U. (2008), "From Newton's mechanics to Euler's equations", Physica D: Nonlinear Phenomena 237 (14–17): 1855–1869, doi:10.1016/j.physd.2007.08.003

Ārējās saites

• Vikikrātuvē par šo tēmu ir pieejami multivides faili. Skatīt: Bernulli likums.
• Encyclopædia Britannica raksts (angliski)