Tikrinių verčių lygtis

Tikrinių verčių lygtimi matematikoje vadinama tokio pavidalo lygtis:

${\displaystyle {\hat {A}}f=af}$,

Transformacijos matrica ${\displaystyle {\bigl [}{\begin{smallmatrix}2&1\\1&2\end{smallmatrix}}{\bigr ]}}$ nepakeičia krypties tikrinių vektorių, lygiagrečių ${\displaystyle {\bigl [}{\begin{smallmatrix}1\\1\end{smallmatrix}}{\bigr ]}}$ (mėlyna) ir ${\displaystyle {\bigl [}{\begin{smallmatrix}1\\-1\end{smallmatrix}}{\bigr ]}}$ (violetinė). Raudoni vektoriai nėra tikriniai vektoriai, todėl minėta transformacija keičia jų kryptis.

Čia:

• A – kažkoks matematinis operatorius, pvz., diferencijavimas, daugyba, integravimas ir t. t.,
• f – ieškoma funkcija,
• a – konstanta, vadinama tikrine verte.

Dažnai sakoma, kad tokia lygtis yra operatoriaus A tikrinių verčių lygtis, o konstanta a – operatoriaus tikrinė vertė.

Konstanta a konkrečiu atveju gali būti žinoma, arba ne. Jei ne, jos radimas taip pat laikomas uždavinio dalimi. Visuma tikrinių verčių, su kuriomis egzistuoja lygties sprendiniai, vadinama tikrinių verčių spektru. Šis sprektras gali būti tolydinis, t. y. su visomis įmanomomis a vertėmis egzistuoja lygties sprendiniai, arba diskretinis – sprendiniai yra tik su tam tikromis konstantos vertėmis. Sprendinys gautas su kažkuria konkrečia tikrine verte vadinamas tos tikrinės vertės tikrine funkcija (diskretiniu atveju - tikriniu vektoriumi).

Paprastas pavyzdys

Turime tokią lygtį:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x)=af(x)}$,

dėl jos formos ją galime klasifikuoti kaip tikrinių verčių lygtį. Šiuo atveju operatorius yra diferencijavimas pagal kintamąjį x, tikrinė vertė – a, o ieškomoji funkcija – f(x).

Tokią lygtį galime nesunkiai išspręsti:

${\displaystyle f(x)=e^{ax}\,}$.

Matyti, kad šiuo atveju nėra jokių apribojimų tikrinei vertei ${\displaystyle a\,}$ – ji gali būti bet kokia, taigi šiuo atveju tikrinių verčių spektras yra tolydinis. Kiekvieną a vertę atitinka jos tikrinė funkcija.

Vaidmuo kvantinėje mechanikoje

Tikrinių verčių lygtys vaidina svarbų vaidmenį kvantinės mechanikos matematinėje formuluotėje. Kadangi ten sistema gali su tam tikromis tikimybėmis būti įvairiose būsenose, kurios atitinka įvairias matuojamo parametro vertes, šios būsenos užrašomos tikrinėmis lygtimis.

Pavyzdžiui, eksperimentiškai nustatyta, kad elektronas vandenilio atome gali turėti tik tam tikras energijos vertes ${\displaystyle E_{1},E_{2},...}$, o būdamas jose apsirašyti atitinkamomis banginėmis funkcijomis ${\displaystyle \psi _{1},\psi _{2},...}$. Jam aprašyti užrašoma tikrinių verčių lygtis, kuri vadinama stacionariąja Šredingerio lygtimi:

${\displaystyle {\hat {H}}\psi =E\psi }$,

kur ${\displaystyle \psi }$ yra banginė funkcija, o E – tikrinių verčių spektras, atitinkantis matuojamą energijos verčių spektrą ${\displaystyle E_{1},E_{2},...}$. Atitinkamai parenkamas operatorius, kad būtų tenkinama ši lygtis. Šiuo atveju operatorius bus hamiltonianas.^[1] Tokiu principu užrašomos lygtys, bei operatoriai ir kitiems fizikiniams dydžiams.

Kadangi lygtys net ir paprastoms sistemoms dažniausiai būna sudėtingos, tikrinių verčių spektrai dažnai būna diskretiniai. Tai yra viena esminių kvantinės mechanikos savybių – realiai matuojami dydžiai dažnai būna kvantuoti, t. y. priešingai, nei klasikinėje mechanikoje, įgauna tik tam tikras fiksuotas vertes.

Šaltiniai

1. „Eigenvalue Equations“. quantummechanics.ucsd.edu. Nuoroda tikrinta 2024-02-03.