Paviršinis integralas pirmojo tipo apskaičiuoja erdvinio kūno paviršiaus plotą, jei
f
[
x
,
y
,
z
(
x
,
y
)
]
=
1.
{\displaystyle f[x,y,z(x,y)]=1.}
Paviršinis integralas pirmojo tipo kartu su dvilypiu integralu apskaičiuojamas pagal formulę:
∬
S
f
(
x
,
y
,
z
)
d
S
=
∬
D
f
[
x
,
y
,
z
(
x
,
y
)
]
1
+
(
∂
z
(
x
,
y
)
∂
x
)
2
+
(
∂
z
(
x
,
y
)
∂
y
)
2
d
x
d
y
.
{\displaystyle \iint _{S}f(x,y,z)dS=\iint _{D}f[x,y,z(x,y)]{\sqrt {1+({\partial z(x,y) \over \partial x})^{2}+({\partial z(x,y) \over \partial y})^{2}}}dxdy.}
Paraboloidas.
Apskaičiuosime integralą
∬
S
1
+
4
x
2
+
4
y
2
d
S
,
{\displaystyle \iint _{S}{\sqrt {1+4x^{2}+4y^{2}}}dS,}
kur S dalis paraboloido
z
=
1
−
x
2
−
y
2
,
{\displaystyle z=1-x^{2}-y^{2},}
atpjauto plokštuma
z
=
0.
{\displaystyle z=0.}
Paviršius S , aprašomas lygtimi
z
=
1
−
x
2
−
y
2
,
{\displaystyle z=1-x^{2}-y^{2},}
projektuojasi ant plokštumos xOy į sritį D , apribota apskritimu
x
2
+
y
2
=
1
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}
(apskritimo lygtis gaunasi iš paraboloido lygties kai
z
=
0
{\displaystyle z=0}
). Todėl sritis D yra skritulys
x
2
+
y
2
≤
1.
{\displaystyle x^{2}+y^{2}\leq 1.}
Šiame skritulyje funkcijos
z
=
1
−
x
2
−
y
2
,
{\displaystyle z=1-x^{2}-y^{2},}
z
x
′
(
x
,
y
)
=
−
2
x
,
{\displaystyle z_{x}'(x,y)=-2x,}
z
y
′
(
x
,
y
)
=
−
2
y
{\displaystyle z_{y}'(x,y)=-2y}
netrūkios. Pagal pirmojo tipo paviršinio integralo formule
1
+
z
x
′
2
(
x
;
y
)
+
z
y
′
2
(
x
;
y
)
,
{\displaystyle {\sqrt {1+z_{x}'^{2}(x;y)+z_{y}'^{2}(x;y)}},}
gauname
∬
S
f
(
x
,
y
,
z
)
d
S
=
∬
D
1
+
4
x
2
+
4
y
2
d
S
=
∬
D
1
+
4
x
2
+
4
y
2
1
+
4
x
2
+
4
y
2
d
x
d
y
=
{\displaystyle \iint _{S}f(x,y,z)dS=\iint _{D}{\sqrt {1+4x^{2}+4y^{2}}}dS=\iint _{D}{\sqrt {1+4x^{2}+4y^{2}}}{\sqrt {1+4x^{2}+4y^{2}}}dxdy=}
=
∬
D
(
1
+
4
x
2
+
4
y
2
)
d
x
d
y
.
{\displaystyle =\iint _{D}(1+4x^{2}+4y^{2})dxdy.}
Pereidami gautame dvilypiame integrale į poliarines koordinates
x
=
ρ
cos
ϕ
,
{\displaystyle x=\rho \cos \phi ,}
y
=
ρ
sin
ϕ
,
{\displaystyle y=\rho \sin \phi ,}
randame
∬
D
(
1
+
4
x
2
+
4
y
2
)
d
x
d
y
=
∫
0
2
π
d
ϕ
∫
0
1
(
1
+
4
ρ
2
)
ρ
d
ρ
=
∫
0
2
π
(
ρ
2
2
+
ρ
4
)
|
0
1
=
3
2
∫
0
2
π
d
ϕ
=
3
2
ϕ
|
0
2
π
=
3
π
.
{\displaystyle \iint _{D}(1+4x^{2}+4y^{2})dxdy=\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{1}(1+4\rho ^{2})\rho d\rho =\int _{0}^{2\pi }({\rho ^{2} \over 2}+\rho ^{4})|_{0}^{1}={3 \over 2}\int _{0}^{2\pi }d\phi ={3 \over 2}\phi |_{0}^{2\pi }=3\pi .}
∬
S
P
(
x
,
y
,
z
)
d
y
d
z
+
Q
(
x
,
y
,
z
)
d
z
d
x
+
R
(
x
,
y
,
z
)
d
x
d
y
=
{\displaystyle \iint _{S}P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy=}
=
∬
S
P
(
x
,
y
,
z
)
d
y
d
z
+
∬
S
Q
(
x
,
y
,
z
)
d
z
d
x
+
∬
S
R
(
x
,
y
,
z
)
d
x
d
y
.
{\displaystyle =\iint _{S}P(x,y,z)dydz+\iint _{S}Q(x,y,z)dzdx+\iint _{S}R(x,y,z)dxdy.}
Paviršius S projektuojamas į sritį D plokštumoje xOy :
∬
S
R
(
x
,
y
,
z
)
d
x
d
y
=
∬
D
R
(
x
,
y
,
f
(
x
,
y
)
)
d
x
d
y
.
{\displaystyle \iint _{S}R(x,y,z)dxdy=\iint _{D}R(x,y,f(x,y))dxdy.}
Paviršius S projektuojamas į sritį D plokštumoje yOz :
∬
S
R
(
x
,
y
,
z
)
d
x
d
y
=
∬
D
R
(
f
(
y
,
z
)
,
y
,
z
)
d
y
d
z
.
{\displaystyle \iint _{S}R(x,y,z)dxdy=\iint _{D}R(f(y,z),y,z)dydz.}
Paviršius S projektuojamas į sritį D plokštumoje xOz :
∬
S
R
(
x
,
y
,
z
)
d
x
d
y
=
∬
D
R
(
x
,
f
(
x
,
z
)
,
z
)
)
d
z
d
x
.
{\displaystyle \iint _{S}R(x,y,z)dxdy=\iint _{D}R(x,f(x,z),z))dzdx.}
Pavyzdžiai
Apskaičiuosime integralą
∬
S
(
y
2
+
z
2
)
d
x
d
y
,
{\displaystyle \iint _{S}(y^{2}+z^{2})dxdy,}
kur S – viršutinė dalis paviršiaus
z
=
1
−
x
2
,
{\displaystyle z={\sqrt {1-x^{2}}},}
atkirsta plokštumomis
y
=
0
,
{\displaystyle y=0,}
y
=
1.
{\displaystyle y=1.}
Projekcija D duotojo paviršiaus į plokštumą xOy yra stačiakampis , nusakomas neligybėmis
−
1
≤
x
≤
1
,
0
≤
y
≤
1.
{\displaystyle -1\leq x\leq 1,\;0\leq y\leq 1.}
Pagal formulę
∬
S
R
(
x
,
y
,
z
)
d
x
d
y
=
∬
D
R
(
x
,
y
,
f
(
x
,
y
)
)
d
x
d
y
{\displaystyle \iint _{S}R(x,y,z)dxdy=\iint _{D}R(x,y,f(x,y))dxdy}
randame
∬
S
(
y
2
+
z
2
)
d
x
d
y
=
∬
D
[
y
2
+
(
1
−
x
2
)
2
]
d
x
d
y
=
∫
−
1
1
d
x
∫
0
1
(
y
2
+
1
−
x
2
)
d
y
=
{\displaystyle \iint _{S}(y^{2}+z^{2})dxdy=\iint _{D}[y^{2}+({\sqrt {1-x^{2}}})^{2}]dxdy=\int _{-1}^{1}dx\int _{0}^{1}(y^{2}+1-x^{2})dy=}
=
∫
−
1
1
(
y
3
3
+
y
−
x
2
y
)
|
0
1
d
x
=
∫
−
1
1
(
4
3
−
x
2
)
d
x
=
(
4
3
x
−
x
3
3
)
−
1
1
=
4
3
−
1
3
−
(
−
4
3
+
1
3
)
=
1
+
1
=
2.
{\displaystyle =\int _{-1}^{1}({y^{3} \over 3}+y-x^{2}y)|_{0}^{1}dx=\int _{-1}^{1}({4 \over 3}-x^{2})dx=({4 \over 3}x-{x^{3} \over 3})_{-1}^{1}={4 \over 3}-{1 \over 3}-(-{4 \over 3}+{1 \over 3})=1+1=2.}
Apskaičiuosime integralą
∬
S
x
d
y
d
z
+
y
d
z
d
x
+
z
d
x
d
y
,
{\displaystyle \iint _{S}xdydz+ydzdx+zdxdy,}
kur S viršutinė dalis plokštumos
x
+
z
−
1
=
0
,
{\displaystyle x+z-1=0,}
atkirsta plokštumomis
y
=
0
,
{\displaystyle y=0,}
y
=
4
{\displaystyle y=4}
ir gulinti pirmajame oktante.
Pagal apibrėžimą,
∬
S
x
d
y
d
z
+
y
d
z
d
x
+
z
d
x
d
y
=
{\displaystyle \iint _{S}xdydz+ydzdx+zdxdy=}
=
∬
D
1
x
(
y
,
z
)
d
y
d
z
+
∬
S
y
d
z
d
x
+
∬
D
2
z
(
x
,
y
)
d
x
d
y
.
{\displaystyle =\iint _{D_{1}}x(y,z)dydz+\iint _{S}ydzdx+\iint _{D_{2}}z(x,y)dxdy.}
Čia
D
1
{\displaystyle D_{1}}
ir
D
2
{\displaystyle D_{2}}
– projekcijos paviršiaus S į plokštumas yOz ir xOy , o
∬
S
y
d
z
d
x
=
0
,
{\displaystyle \iint _{S}ydzdx=0,}
nes plokštuma S lygiagreti ašiai Oy (ploštumos lygtyje
y
=
0
{\displaystyle y=0}
). Pagal formules
∬
S
R
(
x
,
y
,
z
)
d
x
d
y
=
∬
D
R
(
x
,
y
,
f
(
x
,
y
)
)
d
x
d
y
{\displaystyle \iint _{S}R(x,y,z)dxdy=\iint _{D}R(x,y,f(x,y))dxdy}
ir
∬
S
R
(
x
,
y
,
z
)
d
x
d
y
=
∬
D
R
(
f
(
y
,
z
)
,
y
,
z
)
d
y
d
z
{\displaystyle \iint _{S}R(x,y,z)dxdy=\iint _{D}R(f(y,z),y,z)dydz}
atitinkamai randame
∬
S
z
d
x
d
y
=
∬
D
2
(
1
−
x
)
d
x
d
y
=
∫
0
4
d
y
∫
0
1
(
1
−
x
)
d
x
=
∫
0
4
(
x
−
x
2
2
)
|
0
1
d
y
=
1
2
∫
0
4
d
y
=
2
,
{\displaystyle \iint _{S}zdxdy=\iint _{D_{2}}(1-x)dxdy=\int _{0}^{4}dy\int _{0}^{1}(1-x)dx=\int _{0}^{4}(x-{x^{2} \over 2})|_{0}^{1}dy={1 \over 2}\int _{0}^{4}dy=2,}
∬
S
x
d
y
d
z
=
∬
D
1
(
1
−
z
)
d
y
d
z
=
∫
0
4
d
y
∫
0
1
(
1
−
z
)
d
z
=
1
2
∫
0
4
d
y
=
2.
{\displaystyle \iint _{S}xdydz=\iint _{D_{1}}(1-z)dydz=\int _{0}^{4}dy\int _{0}^{1}(1-z)dz={1 \over 2}\int _{0}^{4}dy=2.}
Todėl
∬
S
x
d
y
d
z
+
y
d
z
d
x
+
z
d
x
d
y
=
2
+
0
+
2
=
4.
{\displaystyle \iint _{S}xdydz+ydzdx+zdxdy=2+0+2=4.}
Pakilusi iki pusės nupjauta sfera .
Apskaičiuosime integralą
∬
S
(
z
−
R
)
2
d
x
d
y
{\displaystyle \iint _{S}(z-R)^{2}dxdy}
pagal viršutinę pusę pusiasferės
x
2
+
y
2
+
z
2
=
2
R
z
,
{\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=2Rz,}
R
≤
z
≤
2
R
.
{\displaystyle R\leq z\leq 2R.}
Duotajį paviršių S galima aprašyti lygtimi
x
2
+
y
2
+
z
2
=
2
R
z
,
{\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=2Rz,}
x
2
+
y
2
+
(
z
−
R
)
2
=
R
2
,
{\displaystyle x^{2}+y^{2}+(z-R)^{2}=R^{2},}
(
z
−
R
)
2
=
R
2
−
x
2
−
y
2
,
{\displaystyle (z-R)^{2}=R^{2}-x^{2}-y^{2},}
z
−
R
=
R
2
−
x
2
−
y
2
,
{\displaystyle z-R={\sqrt {R^{2}-x^{2}-y^{2}}},}
z
=
R
+
R
2
−
x
2
−
y
2
.
{\displaystyle z=R+{\sqrt {R^{2}-x^{2}-y^{2}}}.}
Todėl pagal formulę
∬
S
R
(
x
,
y
,
z
)
d
x
d
y
=
∬
D
R
(
x
,
y
,
f
(
x
,
y
)
)
d
x
d
y
{\displaystyle \iint _{S}R(x,y,z)dxdy=\iint _{D}R(x,y,f(x,y))dxdy}
turime:
∬
S
(
z
−
R
)
2
d
x
d
y
=
∬
D
(
R
+
R
2
−
x
2
−
y
2
−
R
)
2
d
x
d
y
=
∬
D
(
R
2
−
x
2
−
y
2
)
d
x
d
y
,
{\displaystyle \iint _{S}(z-R)^{2}dxdy=\iint _{D}(R+{\sqrt {R^{2}-x^{2}-y^{2}}}-R)^{2}dxdy=\iint _{D}(R^{2}-x^{2}-y^{2})dxdy,}
kur D – skritulys
x
2
+
y
2
≤
R
{\displaystyle x^{2}+y^{2}\leq R}
plokštumos xOy , į kurį projektuojasi paviršius S . Skaičiuodami dvilipį integralą , gausime:
∬
S
(
z
−
R
)
2
d
x
d
y
=
∬
D
(
R
2
−
x
2
−
y
2
)
d
x
d
y
=
∫
0
2
π
d
ϕ
∫
0
R
(
R
2
−
ρ
2
)
ρ
d
ρ
=
∫
0
2
π
(
R
2
ρ
2
2
−
ρ
4
4
)
|
0
R
d
ϕ
=
{\displaystyle \iint _{S}(z-R)^{2}dxdy=\iint _{D}(R^{2}-x^{2}-y^{2})dxdy=\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{R}(R^{2}-\rho ^{2})\rho d\rho =\int _{0}^{2\pi }({R^{2}\rho ^{2} \over 2}-{\rho ^{4} \over 4})|_{0}^{R}d\phi =}
=
R
4
4
ϕ
|
0
2
π
=
π
R
4
2
.
{\displaystyle ={R^{4} \over 4}\phi |_{0}^{2\pi }={\pi R^{4} \over 2}.}
Plokštuma S .
Apskaičiuosime integralą
∬
S
x
d
y
d
z
+
y
d
z
d
x
+
z
d
x
d
y
{\displaystyle \iint _{S}xdydz+ydzdx+zdxdy}
pagal viršutine pusę dalies plokštumos
x
+
2
z
=
2
,
{\displaystyle x+2z=2,}
gulinčios pirmajame oktante, ir atpjautos plokštuma
y
=
4.
{\displaystyle y=4.}
Pagal nustatymą
∬
S
x
d
y
d
z
+
y
d
z
d
x
+
z
d
x
d
y
=
∬
S
x
d
y
d
z
+
∬
S
y
d
z
d
x
+
∬
S
z
d
x
d
y
.
{\displaystyle \iint _{S}xdydz+ydzdx+zdxdy=\iint _{S}xdydz+\iint _{S}ydzdx+\iint _{S}zdxdy.}
∬
S
x
d
y
d
z
=
∬
D
1
(
2
−
2
z
)
d
y
d
z
=
2
∫
0
4
d
y
∫
0
1
(
1
−
z
)
d
z
=
4.
{\displaystyle \iint _{S}xdydz=\iint _{D_{1}}(2-2z)dydz=2\int _{0}^{4}dy\int _{0}^{1}(1-z)dz=4.}
∬
S
y
d
z
d
x
=
0
,
{\displaystyle \iint _{S}ydzdx=0,}
nes plokštuma S lygiagreti ašiai Oy .
∬
S
z
d
x
d
y
=
∬
D
2
(
1
−
x
2
)
d
x
d
y
=
∫
0
4
d
y
∫
0
2
(
1
−
x
2
)
d
x
=
∫
0
4
(
x
−
x
2
4
)
|
0
2
d
y
=
{\displaystyle \iint _{S}zdxdy=\iint _{D_{2}}(1-{x \over 2})dxdy=\int _{0}^{4}dy\int _{0}^{2}(1-{x \over 2})dx=\int _{0}^{4}(x-{x^{2} \over 4})|_{0}^{2}dy=}
=
∫
0
4
(
2
−
2
2
4
)
d
y
=
∫
0
4
d
y
=
y
|
0
4
=
4.
{\displaystyle =\int _{0}^{4}(2-{2^{2} \over 4})dy=\int _{0}^{4}dy=y|_{0}^{4}=4.}
Todėl,
∬
S
x
d
y
d
z
+
y
d
z
d
x
+
z
d
x
d
y
=
4
+
0
+
4
=
8.
{\displaystyle \iint _{S}xdydz+ydzdx+zdxdy=4+0+4=8.}